1/p + 1/q = 1 および p>1を満足する任意の正数p,qと任意の正数a,bに対して
ab <= (a^p)/p + (b^q)/q
が成り立つことを証明せよ。また等号が成り立つのはどんな時か という問題です。お願いします。

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A 回答 (11件中1~10件)

1/p+1/q=1 より


両辺にpqを掛け
 p+q=pq
pq-p-q=0
pq-p-q+1=1
因数分解し
(p-1)(q-1)=1
p-1=1/(q-1) または q-1=1/(p-1)
y=x^(p-1)とすると x=y^(1/(p-1))であり x=y^(q-1)となる

また、グラフは適当な単調増加関数と考えてよく、
   y=f(x)とx=g(y)は同じグラフです

  (Aの面積)+(Bの面積)>=(abの長方形の面積)

  int(0-a)x^(p-1)dx+int(0-b)y^(q-1)dy>=ab
 
   よって (1/p)a^p+(1/q)b^q>=ab
 
 今のグラフは、b>a^(p-1)のときであるが
       b<a^(p-1)のときも同様になる

 また、等号成立は、b=a^(p-1)のときとなる
...y
...|.................../|
b|__________/+|
...|*****/++|
...|**B*/+++|
...|***/++++|
...|**/++A++|
...|*/++++++|
._|/____________|___
...|......................a
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/15 19:19

mocchan1515さんが混乱しないように、注釈します。



teizo-さんは積分を使って証明してますが、もちろんオッケーです。ちなみに
b=a^(p-1)とすると
p-1=p/q
より
b=a^(p/q)
つまり
b^q = (a^(p/q))^q)=a^p
だから、等号が成り立つ条件
a^p=b^q

b=a^(p-1)
と全く同じ意味です。

なお、論理式の記号に付いては↓が参考になると思います。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=143938
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No.8のコメントに対する回答です。



●f(x,P)=P(x-1)-x^P+1
これは、右辺をいちいち書くのがめんどくさいので、左辺の記号で代用する、ということに過ぎません。
途中でf(x), f'(x)になっちゃってますが、f(x,P), f'(x,P)の間違いです。

●∀x(x>0→f(x,P)≧0)
∀は「任意の」ということを表す記号で、
∀xQ
と書いて「任意のxについて命題Qが成り立つ」という意味です。
x>0→f(x,P)≧0
てのは、A→Bという形をしています。この"→"は「ならば」と読む。A→Bは「AならばB」と読み、「Aでないか、またはBである」というのと正確に同じ意味です。ですから、
x>0→f(x,P)≧0
とは「x>0ならばf(x,P)≧0である」という命題ですね。これがどんなxであっても成り立つ、ということを表す命題が
∀x(x>0→f(x,P)≧0)
です。
たとえば
(x+1)(x-1) = x^2 - 1
というのはどんなxについても成り立つ「恒等式」ですから、
∀x((x+1)(x-1) = x^2 - 1)
と書けます。

●ちなみに、∀と対になる記号に∃(存在する)があります。
∃xQ
と書くと、「命題Qが成り立つようなxが(少なくとも一つ)存在する」という意味です。たとえば
(x+1)(x-1)=0
ってのは方程式であって、どんなxについても成り立つ訳じゃない。でも、この方程式には解がある。つまり、この式が成り立つようなxが存在するわけです。この事を
∃x((x+1)(x-1)=0)
と表すことができます。

●ご質問の場合、
「1/p + 1/q = 1 および p>1を満足する任意の正数p,qと任意の正数a,bに対して
ab <= (a^p)/p + (b^q)/q
が成り立つ」
をこれらの記号を使って書けば、
∀p∀q∀a∀b((1/p + 1/q = 1 ∧ p>1 ∧ p>0 ∧ q>0 ∧ a>0 ∧ b>0)→ab <= (a^p)/p + (b^q)/q)
となります。ここで"∧"というのは「かつ」と読む。X∧Yは「XでありかつYである」ということを表します。
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この回答へのお礼

わざわざありがとうございました。

お礼日時:2002/02/15 19:20

a>0, b>0, p>1,1/p + 1/q = 1


p>1よりq>1である。そこで
P=1/p, x=(a^p)/(b^q)と書くと、
0<P<1, x>0
である。さて
f(x,P)=P(x-1)-x^P+1
とする。xで微分すると
f'(x,P)=∂f/∂x = P(1-(x^(P-1)))
さて、(P-1)<0であるから、
x=1では
f(1,P)=0、f'(1,P)=0
である。
そしてx>1ではx^(P-1)<1だから
f'(x)=P(1-(x^(P-1)))<0
また0<x<1ではx^(P-1)>1だから
f'(x)=P(1-(x^(P-1)))>0
である。
ゆえに、x>0の範囲では、f(x,P)はx=1で最小値0を取ることが分かる。よって
∀x(x>0→f(x,P)≧0)
であり、等号が成り立つのはx=1の時。

元の記号に戻してみると、
P(x-1)-x^P+1≧0
ゆえに
(1/p)((a^p)/(b^q))-((a^p)/(b^q))^(1/p)+1≧0
(1/p)((a^p)/(b^q))-a/(b^(q/p))+1≧0
b^q>0より
(1/p)((a^p)-(b^q))-(b^q)a/(b^(q/p))+(b^q)≧0
(a^p)/p+(b^q)(1-1/p)-(b^(q(1-1/p)))a≧0
(a^p)/p+(b^q)/q-ab≧0

等号が成り立つのは
x = (a^p)/(b^q) = 1
つまり
a^p=b^q
の時である。

てなかんじです。

この回答への補足

? f(x,P)とか∀というのはなんでしょうか?習ってない範囲かもしれません。すみません。

補足日時:2002/02/14 22:32
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No.6の者ですが、int(0-a)x^(p-1)dxは、積分のつもりで書きました。


x^(p-1)を0からaまで積分すると考えてください。
積分により面積を求めます。図で大小を比較してください。
積分を使う問題だと思います。
また、微分を使うならば
f(a)=(1/p)a^p+(1/q)b^q-abとおき
aについて微分
f'(a)=a^(p-1)-b
ここで、増減表を書き、極小値が
 a=b^(1/(p-1))のとき 0 となる
よって、f(a)>=0
与式が成立する
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以前の大学入試問題だと思います


微分を用いて増減表を書く方法と
グラフで囲まれた面積を比較する方法があります

p,qの関係式より(p-1)(q-1)=1よりp-1=1/(q-1)
y=x^(p-1)のとき x=y^(q-1)
したがって、y=f(x)=x^(p-1)の逆関数は、x=g(y)=y^(q-1)の関係になります
f(x),g(y)は、単調増加関数であり
y=f(x),x=g(y),点(a,b)の関係より
int(0-a)x^(p-1)dx+int(0-b)y^(q-1)dy>=ab
(図を書いてください。左辺は、長方形abの外に出るところがある。)
したがって、与式が成立します
等号成立は、面積が一致するときより
y=f(x)が点(a,b)を通る よって a=b^(p-1) である

この回答への補足

すいません。intというのはまだ授業で習ってないのでこの方法ではないと思います。微分を用いる方だと思いますが、どうすればいいのか分かりません。

補足日時:2002/02/13 17:26
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この回答へのお礼

すみません。p,qの関係式より(p-1)(q-1)=1というのがどうやってでたのか分かりません。
y=x^(p-1)とx=y^(q-1)のグラフもどうかいていいのか分かりません。適当にかいていただければうれしいですが>http://w2.oekakies.com/p/mocchan/p.cgi

お礼日時:2002/02/14 22:32

No.4はカットしてください



f(a)=a^p/p+b^q/q-a・bとすれば
(d/da)・f(0)<0だから
(d/da)・f(a)=0かつ0<aが一つしかないことを示し
そのaをa0としたとき0≦f(a0)であることを示せばいいと思います

この方法は確実だがスマートでないのでスマートな回答を待ちたいですね

まだ間違いがあるかも
私の回答は間違い探しなんですよ
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f(a)=a^p/p+b^q/q-a・bとすれば


(d/da)・f(0)<0だから
(d/da)・f(a)=0かつ0<aが一つしかないことを示し
そのaをa0としたとき0≦a(a0)であることを示せばいいと思います

この方法は確実だがスマートでないのでスマートが回答を待ちたいですね
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要するに、


ab≦(a^p)/p+(b^q)/q (a>0、b>0)

1/p+1/q=1、p>1&q>0
について証明せよ、ということでしょうか。
数学の問題は記号を使った方が分かりやすいと思いますよ。IMEパッドを活用しましょう。

log(対数)を取りましょう。で、考えやすくなったかな。
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No.1の方と同じ内容になりますがp,qは整数ではないのですかね。


以下そう仮定して(正の整数でも同じですが)話を進めていきます。

1/p+1/q=1⇒p+q=pqを満たす整数p,qはp=q=2しかないです。そうするとこの不等式は
a^2/2+b^2/2-ab=(a-b)^2/2となり全ての実数a,bに対して正または0になります。これがイコール0になるのは見ての通りa=bの時です。

しかしほんとにこれであってるんですかね?これじゃ中学生の問題ですしね。ぱっと見だと高校の問題かと思ったんですが。あまり自信ないので「自信無し」にしときます。

この回答への補足

正の数というだけで整数ではないです。
http://dictionary.goo.ne.jp/cgi-bin/dict_search. …

補足日時:2002/02/12 22:39
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