1/p + 1/q = 1 および p>1を満足する任意の正数p,qと任意の正数a,bに対して
ab <= (a^p)/p + (b^q)/q
が成り立つことを証明せよ。また等号が成り立つのはどんな時か という問題です。お願いします。

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A 回答 (11件中11~11件)

正数という言葉が使われていますが、


整数の間違えでしょうか。
正の数の意味でしょうか

補足をお願いします

この回答への補足

正の数です。

補足日時:2002/02/12 20:14
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Qgcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#=p,#=qならばGは巡回群

gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。
aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時,
(G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。
また,このような群Gの例を挙げよ。

という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。

是非,ご教示ください。m(_ _)m

Aベストアンサー

問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。
また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

Q任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような

任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qの組み合わせ
を見つけることは可能ですか?
更に言いますと、数学的な要求でなくてすみませんが
できればp,qは小数第3位くらいまでで表せる数だと一番いいのですが。

一応、↓の質問の続きです。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6156285.html

Aベストアンサー

#3です。前の回答は考えすぎていました。


a^2+b^2=c^2
となるピタゴラス数が1組あれば、

(am+bn)^2+(an-bm)^2
=(am)^2+2abmn+(bn)^2+(an)^2-2abmn+(bm)^2
=(am)^2+(bm)^2+(an)^2+(bn)^2
=(cm)^2+(cn)^2

∴m^2+n^2={(am+bn)/c}^2+{(an-bm)/c)}^2


ピタゴラス数の組を変えればいくらでも見つかります。

a=3,b=4,c=5
a=7,b=24,c=25
とすれば小数第2位以内で表せます。

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?

Q任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような

任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qは
以前の質問↓
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6158436.html
の際に、a^2+b^2=c^2≠0を満たす整数a,b,cを用いて
 p=(am+bn)/c, q=(an-bm)/c
と表せることを教えていただきました。

これにより求められたp,qは一般には整数ではないですが
 m=(ap-bq)/c, n=(bp+aq)/c
が成り立ちます。

このことから思ったのですが、x,yが“キリの悪い有理数”のとき
a,b,cを上手く選んでやれば
 p=(ax-by)/c, q=(ax+by)/c
により“よりキリの良い有理数”になると思います。
全てのx,yの組み合わせでは不可能かもしれませんが
可能な組み合わせだった場合、x,yが与えられたときに
a,bをどのようにして選べば良いのでしょうか?

※ここで“キリの悪い有理数”とは、
有理数を互いに素な整数を用いた分数で表したときに
素因数が分母にたくさん含まれている数を指すこととします。
“よりキリの良い有理数”とは同様に分母に含まれる
素因数の種類が“キリの悪い有理数”より少ないものとします。

任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qは
以前の質問↓
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6158436.html
の際に、a^2+b^2=c^2≠0を満たす整数a,b,cを用いて
 p=(am+bn)/c, q=(an-bm)/c
と表せることを教えていただきました。

これにより求められたp,qは一般には整数ではないですが
 m=(ap-bq)/c, n=(bp+aq)/c
が成り立ちます。

このことから思ったのですが、x,yが“キリの悪い有理数”のとき
a,b,cを上手く選んでやれば
 p=(ax-by)/c, q=(ax+by)/c
により“よりキリの良い有理数”になると...続きを読む

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何を仰っているのか意味不明です


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