実数についての条件での質問です。

実数ℓについて、
　任意の正数ε(>0)に対して、ℓ＋ε ≧ １　が成り立つ

とき、
①　ℓ＞１
②　ℓ≧１
のどちらが言えているでしょうか？
ℓ＝１もいい気がしますが、厳密に示すには、どのように示しますか？

トリビアル・・・と思いつつお尋ねです。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/16 23:24

ℓ≧1

のとき
任意のε>0に対して
ℓ+ε>1　が成り立つから
ℓ+ε≧1　が成り立つ

ℓ<1
のとき
ε=(1-ℓ)/2
とすると
ε=(1-ℓ)/2>0
ℓ+ε=ℓ+(1-ℓ)/2=(1+ℓ)/2<(1+1)/2=1
∴
ℓ+ε<1

∴
ℓ≧1

この回答へのお礼

なるほどです。
ありがとうございます。

お礼日時：2023/04/25 23:47

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/17 14:06

何故迷うのでしょう？

ℓ=1で
「任意の正数ε(>0)に対して、ℓ＋ε ≧ １　」
は「厳密に」成り立ちますよね？
1に正数足して1未満になる筈がない。

ℓ＋ε ≠1 が引っ掛かるのだろうか?

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
そうでした。

お礼日時：2023/04/25 23:46

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/17 01:31

答えは②。

ε > 0 であるとき、
ε ≧ 0 が成立しているから
1 + ε ≧ 1 でもある。
すなわち、 ℓ = １ に対しても
ℓ + ε ≧ １ は成り立つ。

この回答へのお礼

トリビアルでした。

お礼日時：2023/04/25 23:46

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/16 22:49

たとえばはいりほう

この回答へのお礼

トリビアル、なんでしょうね。

お礼日時：2023/04/25 23:45

No.1 回答者： くんこば 回答日時： 2023/04/16 22:14

任意の正数ε(>0)に対して、ℓ+ε≧１が成り立つということは、ℓ≧１-εが成り立つことを意味します。

ここで、εを任意の小さな正数に取ると、１-εは１に限りなく近づくため、ℓは１以上の実数であると言えます。つまり、答えは(2)であると言えます。

ただし、ℓ=1の場合については、与えられた条件からは直接的には言えません。ℓ=1の場合でも、任意の正数ε(>0)に対して、1+ε≧１が成り立つことは明らかであり、この条件を満たしています。しかし、与えられた条件からℓ＞１とは限らないため、厳密に示すには、ℓ≧１を示す必要があります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/04/25 23:45