直線L上に辺ADがある平行四辺形ABCDをかいた。さらに辺CDの中点をE、辺ADを2:1に分ける点をF、対角線ACとBF,BEとの交点をそれぞれH、Iとし、BEの延長と直線Lとの交点をGとする。
問題
HI=3cmのとき、ICの長さを求めなさい。
解答
IC=3.75cm
本日の夜子供に教えたいのでよろしくお願いいたします。

A 回答 (1件)

うまく説明できるかわかりませんが。



△AHFと△CHBについて
AD//BCより、∠HAF=∠BCH(錯角)
∠AHF=∠CHB(対頂角)
よって、2角がそれぞれ等しいから、△AHF∽△CHB(相似)
BC=AD、AF:FD=2:1(AF:AD=2:3)から
AH:HC=2:3になります。

ここまで、いいですね。

次に△ABIと△CEIについて
AB//CEより、∠BAI=∠ECI(錯角)
∠AIB=∠CIE(対頂角)
2つの角がそれぞれ等しいから、△ABI∽△CEIです。
CE=1/2・ABですから、AI:IC=2:1になります。
さて、AC=xとおきます。
するとAH:HC=2:3より、AH=(2/5)xと表せます。
一方、AI:IC=2:1より、IC=(1/3)xと表せます。
AC=AH+HI+IC、HI=3cmですから、
x=(2/5)x+3+(1/3)x という一次方程式ができます。
これを解いて、(1-2/5-1/3)x=3 (xの項を左辺に移項してまとめます。)
(4/15)x=3
x=3×(15/4)(あえてこのままにしときます)

求めるのはICで、IC=(1/3)xですから、
IC=(1/3)×3×(15/4)=15/4=3.75cm となります。

ご理解いただけましたか?
分からなければ、遠慮なく補足をどうぞ。
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この回答へのお礼

早速のまた非常にご丁寧な御回答ありがとうございました。実は昨年度の兵庫県の高校入試問題なのです。22年前に受験したおばちゃんには自分の力で解くことができなくなってしまっていました。お教えいただいてあと一歩だったなあって納得できました。ありがとうございました、先生!!

お礼日時:2002/02/14 11:49

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QAB=AC=AD=13, BC=BD=13, CD=10 である三角すいABCD の体積

「AB=AC=AD=13, BC=BD=13, CD=10 である三角すいABCD の体積を求めなさい。」と言う問題の解説部分についての質問です。

---------<解説(「・・・#」は質問のために追加)>---------
A から平面BCDに下ろした垂線の足をHとする。AB=AC=ADより, H は△BCDの外心となる。
△BCD は BC=BD の二等辺三角形だから, BH とCD の交点 M は CD の中点になる。
∴BM=√(13^2-5^2)=12=AM
また△ABMで,M からABに下ろした垂線の足を N とすると, AN=BN=13/2
∴cos∠ABM = BN/BM = 13/24 (・・・#)
sin∠ABM = √407 / 24
よってAH = 13sin∠ABM = 13√407 / 24
したがって三角すいABCDの体積は,(1/2)・10・12・(13√407 /24)・(1/3)=65√407/6
---------------------------------------------
#の部分でなぜcos∠ABM = BN/BMになるのですか。

「AB=AC=AD=13, BC=BD=13, CD=10 である三角すいABCD の体積を求めなさい。」と言う問題の解説部分についての質問です。

---------<解説(「・・・#」は質問のために追加)>---------
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△BCD は BC=BD の二等辺三角形だから, BH とCD の交点 M は CD の中点になる。
∴BM=√(13^2-5^2)=12=AM
また△ABMで,M からABに下ろした垂線の足を N とすると, AN=BN=13/2
∴cos∠ABM = BN/BM = 13/24 (・・・#)
sin∠ABM = √407...続きを読む

Aベストアンサー

三角形BMNが直角三角形になっているからです。
点Nは、点Mから辺ABへの垂線の足でしたよね?
つまり、∠MNB=90°
ということになります。
cosはもともと、求めたい角を左下にしたときの直角三角形の『底辺/斜辺』なので、
   cos∠ABM = BN/BM
となります。

Q四角形ABCDは平行四辺形、Eは辺AD上の点で、EB=BCである。また

四角形ABCDは平行四辺形、Eは辺AD上の点で、EB=BCである。また、Fは線分BE上の点で、∠EBA=∠BCFである。次の問いに答えなさい。
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(1)はわかりましたが、(2)がわかりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

すみません
△EBDです

Q三角形ABCの内心をIとする。辺BC,CA,ABの長さをa.b.cとしOA→=l→

三角形ABCの内心をIとする。辺BC,CA,ABの長さをa.b.cとしOA→=l→、OB→=m→、OC→=n→とするときOI→を求めよ。

途中までできたのですけど、その後が教科書の答えのように式をつくれませんでした。

まず私は、
AI=l(1/c・c→+1/b・b→) と式を作りました。
これはAIを求める時に、単位ベクトルを1とし、
その中で、1/c・cが当てはまるので、これで一般線形表示の式をつくりました。

つぎに、OIを題意では聞かれてるのですが、まずAIとBIを求めると、過去の問題で理由はわかりませんけど、順序良く求めていくものなのでBIの式をつくりました。
BI=K{1/c(-c) +1/a(-c)+1/a(b)} *(-c)とかは分子に掛かってます。
ただ、是は教科書のを見て書いたのですけど、
BAが1/c・(-c)は解るのですけど、どうして、BCは
BC=1/a・(a)ではダメで、きちんとBC=1/a(-c+b)としなくてはダメなのでしょうか?(質問1)

そのまま続たら、
BI=K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b} とbとcで分けて
BI=BA+AIより、 K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b}=-c+l/c・c+l/b・b 
この式を教科書見るとcとbで式を抜き出してました。
K{(-1/c-1/a)}=-1+l/c ...A
k/a=l/b....b
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OI=OA+AI=l+b/a+b+c×(m-l)+c/a+b+c(n-l) (質問3)OI=OA+AIの式を作るので、AIを求めたのですけど、どこから、(m-l)と(n-l)が生まれたのかわかりませんでした。>_<最後この部分をとけて答えがでるのですけど、AI=bc/a+b+c(1/c・c+1/b・b)の筈なんですけど。。。>_< 

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Aベストアンサー

「ベクトルAB」を (AB)↑ と書きます 「ベクトルm」は m↑ です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか?
(OA)↑= l↑
(OB)↑= m↑
(OC)↑= n↑
(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} とかける
ここで
(AI)↑+(IB)↑= (AB)↑ より
(AI)↑-(BI)↑= (AB)↑すなわち
h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} - k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} = m↑ - l↑
n↑の係数を比較すると、h/b - k/a = 0 すなわち h = kb/a
m↑の係数を比較すると、h/c + k/c + k/a = 1 すなわち h/c + k(a+c)/ac = 1
第一式を第二式に代入してhを消去すると kb/ac + k(a+c)/ac = 1 すなわち k(a+b+c)/ac = 1
すなわち k = ac/(a+b+c) よって
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} ={ac/(a+b+c)}{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a}
={a/(a+b+c)}( l↑ - m↑) + {c/(a+b+c)}( n↑ - m↑)
={a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
ここで(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑ より
(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑= m↑+ {a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
= {a/(a+b+c)}l↑ + {b/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
= (a*l↑ + b*m↑ + c*n↑)/(a+b+c)

「ベクトルAB」を (AB)↑ と書きます 「ベクトルm」は m↑ です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか?
(OA)↑= l↑
(OB)↑= m↑
(OC)↑= n↑
(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c...続きを読む

Q2直線の交点を通る直線群 の公式

a1x+b2x+c=0とa2x+b2x+c2=0 の交点を通る直線群の公式
a1x+b2x+c=0とk(a2x+b2x+c2)=0
をどうしても図形的にイメージできません。k(a2x+b2x+c2)は一体何を表しているのですか?

 

Aベストアンサー

a1x+b1y+c1=0・・・(1)
a2x+b2y+c2=0・・・(2)
だとして、
(1)も(2)も直線の方程式だということは明らかです。
(1)はy=-a1/b1 x - c1/a1 ですね(a1≠0)
k(a2x+b2y+c2)=0 も、k(≠0)に何を代入しても直線です。

式の操作がどのような意味を持つかを考えれば、
連立方程式の解法です。

(1)、(2)の交点は、それを連立して解いた解。
従って、(1)、(2)の各々を実数倍して加えた式も
交点を解として持ちます。

実際、交点の座標を
a1x+b1y+c1=k(a2x+b2y+c2)
に代入すれば必ず等号が成り立ちます。

従って a1x+b1y+c1=k(a2x+b2y+c2) を
グラフにしたとき、必ずその交点を通るということ。
また、この方程式は、x,yの1次式なので直線です。

たぶん、中学生か高校1年生ぐらいかと思いますが、
どちらかを実数倍して加えた(連立した)式は、
その共有点を通るグラフの式になるものだ、
ということを知っておけば今は十分です

a1x+b1y+c1=0・・・(1)
a2x+b2y+c2=0・・・(2)
だとして、
(1)も(2)も直線の方程式だということは明らかです。
(1)はy=-a1/b1 x - c1/a1 ですね(a1≠0)
k(a2x+b2y+c2)=0 も、k(≠0)に何を代入しても直線です。

式の操作がどのような意味を持つかを考えれば、
連立方程式の解法です。

(1)、(2)の交点は、それを連立して解いた解。
従って、(1)、(2)の各々を実数倍して加えた式も
交点を解として持ちます。

実際、交点の座標を
a1x+b1y+c1=k(a2x+b2y+c2)
に代入すれば必ず等号が成り立ちま...続きを読む

Q2直線の交点を通る直線について

2直線の交点を通る直線について、ある予備校の講座でこのように習いました。

『L1:ax+by+c=0 L2:dx+ey+f=0として、L1とL2の交点を通る直線はax+by+c+k(dx+ey+f)=0 (k:定数)、またはL2自身で表現できる』

ここで質問です。
(1) このkというのは何を示しているのでしょうか?
(2) 『またはL2自身』とはどういうことでしょうか。

以前、ある教師に質問したのですがいまいちピンときませんでした。
わかりやすく教えていただけるようお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

L1とL2の交点P(x1、y1)では
ax1+by1+c=0、dx1+ey1+f=0が成り立ちます

よって、ある定数i、jをおくと
i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立ち(∵どのようにi、jを置いてもax1+by1+c=0、dx1+ey1+f=0なので成り立つ)
これは任意のi、jを置くことで交点Pを通るすべての直線を表すことができます

i≠0の時
i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0の両辺をiで割って
(ax+by+c)+(j/i)(dx+ey+f)=0となり、j/i=kと置けば今回の式になります

i=0の時
j(dx+ey+f)=0→dx+ey+f=0(j=0だと、0=0になるので)
となり、これはL2の式と同一つまり、L2自身を示していることになります

ちょっと適当な説明ですが、こんな感じでお分かりになりましたでしょうか


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