円に内接する等脚台形について。

等脚台形ABCDが円に内接しています。
この時、対角線ACと対角線DBが垂直に交わっています。
これだけ条件で、角BACの大きさを求めることは可能でしょうか？

質問者からの補足コメント

• 問題の詳細は、AD平行BC、AB＝DC。
  半径√3の円に内接し、対角線ACとDBが垂直に交わり、長さがともに3という設定です。

    補足日時：2020/11/14 21:03

No.11 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/15 20:27

> 等脚台形ABCD

> 対角線ACと対角線DBが垂直に交わっています。
> 角BAC

　角BACは45°です。
(1) 対角線同士の交点をMとすると、
　　∠BAC = ∠BAM
(2) ABCDが等脚台形ですから、⊿ABMは直角二等辺三角形になる。なので、
　　∠BAM = ∠ABM
(3) ∠AMBは（対角線ACと対角線DBが作る角なので）
　　∠AMB = 90°
(4) ⊿ABMの内角の和は
　　∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°

　(2)(3)(4)より
　　2∠BAM = 180° - 90°
従って(1)より
　　∠BAC =∠BAM = 45°

★なお、補足にお書きの方は、何か間違えてるんじゃ？

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/15 13:45

長さの等しい直交する線分、AC, BD が有って、その交点をP

とすると AP=DP なら等客台形になります。これで対角線が
直交するいろいろな等脚台形を作れるし、等脚台形は円に
内接します。

角度BAC は 直角三角形APBの鋭角の一つですが、
AP=DP という条件は APとBPの配分を制限しないので
角度BACはAPとBPの配分次第で変わります。

従ってこの条件では角度は決まりません。

例えば、正方形なら 角度BAC = 45度

ADをBCに比してとても小さくつくると
角度BAC ≒ 90度

No.9 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/15 10:59

NO4、NO6 の回答に 誤りがありましたので 訂正します。

尚、NO6 の【「問題の詳細は、AD平行BC、AB＝DC。」
この条件では 等脚台形を表しません。】は カン違いではありません。
確かに 等脚台形も含まれますが、平行四辺形の定義ですから。
【四辺形で、AD∥BC、∠Ｂ＝∠Ｃ】ならば 平行四辺形は除外されます。
適切な 問題条件とは 云えないと思います。

前置きが長くなりましたが、本題。
【平行四辺形の対角線が 直交するのは、
正方形の時だけです。】は間違いでした。
すみません。
図を書いてみると分かります。
半径が 3√3cm, 対角線を 9cm 程度で 書いてみましょう。
円の問題では 弦の垂直二等分線は円の中心を通りますから、
直角三角形が出来ます。
実際の計算は やっていませんが、
三平方の定理と正弦定理を組み合わせれば、
答に たどり着けると 思いますよ。

No.8 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/11/15 07:08

#6様

>「問題の詳細は、AD平行BC、AB＝DC。」
この条件では 等脚台形を表しません。

何か勘違いをしていませんか?
この条件でも等脚台形が得られますよ。平行四辺形も得られますが。

AD//BCでAD=BCなら必ず平行四辺形ですが、AB=DCであれば等脚台形にもなりえます。

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/11/15 07:01

#1です。

補足に対して。
外接円の半径が与えられて角度を求めよ、ということであれば正弦定理の出番ですね。
正弦定理を用いる以上、三角形について考える必要があります。
どの点を用いるかは自分で考えてみましょう。

答えが一つとは限りません。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/14 21:19

「問題の詳細は、AD平行BC、AB＝DC。

」
この条件では 等脚台形を表しません。
平行四辺形の定義です。
平行四辺形の対角線が 直交するのは、
正方形の時だけです。
円の半径も 対角線の長さも関係ありません。
∠BAC=45° です。

因みに 等脚台形の定義は、
「四辺形で、AD平行BC、∠Ｂ＝∠Ｃ 」です。

No.5 回答者： 宇宙少年ソラン 回答日時： 2020/11/14 21:11

だから直角なので

45度では。
しっかり正方形じゃないですか。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/14 19:10

対角線が 直交する 四辺形は 正方形しかないと思いますが。

正方形も 等脚台形の 一種と見ることが出来るでしょうが、
その時は ∠BAC=45° ですね。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/11/14 17:31

#1です。

#1の回答はAD//BCの等脚台形を前提としています。
AB//CDの場合は対角線が直交すると∠BAC=45°となります。
(△ABDと△BACが合同となるため∠ABD=∠BACが成り立ちます)

No.2 回答者： 宇宙少年ソラン 回答日時： 2020/11/14 17:14

４５度じゃないの？

垂直に交わるのは
正方形しかないと思いますが。