論理の問題　「あなたはペンギン」

Question

論理の問題でこんなものがありました。

「あなたは寒がりでない。したがって『あなたが寒がりなら、あなたはペンギン』」この論理は正しい？

正解は「正しい」。解説文に
「ＰならばＱ」は「Ｐでない、あるいはＱ」と論理的に同じ。
とありました。

さっぱり理解できません。わかりやすく教えていただけますか？
出典は、講談社ブルーバックス　小野田博一　論理パズル「出しっこ問題」傑作選

noname#19838 · Accepted Answer

ちょっとみなさんの回答がずれている気がしたので……。この問題はたしかに正しいし、不親切でもないと思います。

解説に「ＰならばＱ」は「Ｐでない、あるいはＱ」とおなじとあるわけですよね。それにしたがえば、

「あなたは寒がりでない。したがって『あなたが寒がりなら、あなたはペンギン』」

は、

「あなたは寒がりでない。したがって『あなたは寒がりではない、あるいはあなたはペンギン』」

と書き換えられます。これは「論理として」正しい。だって、「あなたは寒がりではない。したがって、あなたは寒がりではないかペンギンであるかどちらかである」と言っているだけなんですから。「どちらか」のうち「寒がりではない」が前提で言われていますので、この文は真です。ペンギンは関係ない。

それで、質問者さまの悩みは、なぜ「ペンギンかまたはペンギン以外の生物である」ではないのか、ということのようですが、それは現実と論理学を混同しているんです。この問題では、「あなた」や「ペンギン」が「生物」であることこそ、じつは定義されていません。「ペンギン以外の生物」と勝手に作っては、それこそ「偽」になってしまいます。虚心坦懐、言葉の意味に惑わされずに論理だけを詰めることが必要なのです。



「あなたは寒がりでない。したがって……」
　↓
「あなたが寒がりなら、あなたはコンピュータウイルスである」
「あなたが寒がりなら、あなたはケロロ軍曹である」
「あなたが寒がりなら、あなたは空飛ぶ絨毯である」

ぜんぶ「論理的に真」です。おそらく現実的には間違っているでしょうが、それと論理とは別、ということですね。

12nojigoro · Answer

「あなたが寒がりではない」場合に、
『あなたが寒がりなら、あなたはペンギン』
という命題がなぜ正しいか。一言で言うと、「寒がりではないあなた」はこの命題を否定することができないからです。言い換えると「寒がりではないあなた」はこの命題の「対象の範囲外」なのです。

分かりやすい例でいうと、
『鳥は飛ぶ（Ｘが鳥なら、Ｘは飛ぶ）』
を否定するためには「鳥で、飛ばないＸ」が必要です。この場合、ペンギンやダチョウがそのＸの例になりますので、『鳥は飛ぶ』は間違いになります。
このとき、人間や象のような「鳥でなく、飛ばないＸ」は、この命題の対象外なので、『鳥は飛ぶ』を否定することはできません。もちろん、コウモリのような「鳥でなく、飛ぶＸ」も同様です。

結局、この問題が分かりにくい理由は、実世界では、「正しい」「間違い」の他に、「間違いとはいえない」「どちらとも言えない」「分からない」のようなあいまいな判断があるのに、論理では全て「正しい」か「間違い」にしてしまう点にあると思います。つまり「間違いではない」ことは「正しい」のです。
実世界で、
『あなたが寒がりなら、あなたはペンギン』
が正しいかどうかを聞かれたら、おそらく「分からない」とか「常識的に考えて間違い」と答えると思いますが、「寒がりなあなた」がいなければ、論理の世界では否定することはできない、即ち「正しい」となってしまうのです。

Ganymede · Answer

毎度お騒がせしております。この疑問は、「マイナスとマイナスをかけるとなぜプラス？」に似ていると思います。
マイナスの掛け算について
http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=1180152
マイナス×マイナスはなぜプラス？
http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/card.html

説明方法はいろいろあるようですが、疑問は尽きないでしょう。具体例を使った説明には、「それ以外のケースでもこれが成り立つという保証は？」。分配法則から証明しても、「マイナス×マイナス が信じられないのに、分配法則だって？」。むしろ、木で鼻を括ったような次の説明の方が、正直かも知れません。
マイナスにマイナスを掛けるとなんでプラスになるの？ 
http://cheese.2ch.net/math/kako/953/953590762.html
55番の書き込み
A1:定義だから。(つまり、これは証明するような事柄ではない) 
Q2:なぜそう定義するの? 
A2:(-a)*(-b)=abなどと定義しておくと、自然数内で成り立っている分配法則が整数全体に拡張できて便利だから。（引用終わり）

次に、「AならばB」の真偽は次のようになります。
システム理論演習I第7講 命題論理（pdfファイル。数学科以外の学生向けなので分かりやすい。柏原賢二・東大助手）
http://idea.c.u-tokyo.ac.jp/%7ekashiwa/sysI/prop.pdf
9ページの真理値の表
（Aが偽なら、Bが真でも偽でも A→B は真）

というわけで、私の以前の回答は、どこまでゴネられるかゴネまくったものに過ぎません。しかもゴネ得ではなくゴネ損です。数学は黒白はっきりしてますから。ご質問者から好意的な「お礼」をいただきましたが、本当に申し訳ありません……。
「マイナスとマイナスをかけるって、どういうこと？」と深く考えているようでは、方程式をじゃんじゃん解けませんね。同様に、命題「A→B」の真理値を上記のように定めると、複雑な論理式も扱えて便利です。胃の腑に落ちるように「わかる」ことよりも、数学の構造・整合性・使い勝手が重要ということでしょう。

前出のpdfファイルの8ページ
命題を論理記号で結合した場合の真偽はどう定めるのが適当だろうか？
（脚注）
数学的に正しいとは何か、深く考えていくと良くわからなくなるので深くは考えないことにする。（引用終わり）

Segenswind · Answer

No.6です。件の本を見ました。
　一応不足のない説明は載っていましたね……。

　No.5さんの書かれたようなことは、全く同じ筋道で書いてありましたし、「ＰならばＱ」＝「Ｐでない、またはＱ」は、要素ｘの持ちうる属性を４つに場合分け（Ｐ∧Ｑ，Ｐ∧￢Ｑ，￢Ｐ∧Ｑ，￢Ｐ∧￢Ｑ）することで説明していました。ただし記号は使わずにすべて具体例で攻めていましたけれど。

　極力、式や記号を使わないようにして書かれた本と見えますので、質問者さんがつい国語の問題と捉えてしまったのもある意味ではやむなしかもしれません。
　ただ、質問者さんはもちろんすべて読んだうえで質問なさっているのでしょうけど、何が分からないのか（何なら分かるのか）をもう少し絞り込んだり、あるいは分からないなりに出してみた自分の解釈を書いたりすることで、望む回答が早く得られたのではないかと思います。

　で、結局この本の中で議論は完結していたので、もともと何が分からなかったのかが、また分からなくなってしまったんですが……。質問者さんの中で解決したのならもう良いんですけど。

noname#19838 · Answer

すみません、これで最後にします。最初からこう書けばよかった。

結局この問題のキモは、No.6さまが詳しく書いてくださったド・モルガンの法則をもちいることでトートロジー（同語反復）が生まれるということでしょう。

あるX（あなた）において、
「X=P（寒がり）でない。よって、X=PならばX=Q（ペンギン）」：問題文

を、論理的にまったく変更せずに、

「X=P（寒がり）でない。よって、X=PでないあるいはX=Q（ペンギン）」

に変換できるのは本やNo.6さまの解説にあるとおりです。!+1を1-(-1)にするようなものですね。

さらにこれを分解すると、

１：X=Pでない。よって、X=Pでない
　　あるいは
２：X=Pでないときよって、X=Q

となります。このとき、１が永久に真であることは明白でしょう。１と２は「あるいは」で結ばれて全体を構成していますから、１か２かどちらかが真なら、全体も真になります（「かつ」で結ばれていたら、両方が真でなければ全体は偽です）。

１が永久に真である以上、２は真でも偽でも関係ありません。だから、Qがペンギンでもいいし、コンピュータウイルスでもケロロ軍曹でもこの論理は真になるのです。

あとはこれを逆にたどれば、問題文に戻れます。もちろん真です。


「寒がりならペンギンである」という解釈は命題の問題であり、勘違いです。この質問の場合は、「『あなたにおいて』、あなたが寒がりならあなたはペンギンである（そしてあなたは寒がりではない）」です。


――――――


補足：ちょっとあわてて書いてしまいましたが、No.10の訂正は間違いでした。

>>「ぜんぶ論理的に真」なら、「あなた」はコンピュータウイルスかつケロロ軍曹かつ空飛ぶ絨毯であることになってしまいますよ。

というのは一部だけを抽出したに過ぎません。正しく指摘するならこうです。

「『ぜんぶ論理的に真』なら、『あなた』は寒がりでないか、あるいはコンピュータウイルスかつケロロ軍曹かつ空飛ぶ絨毯であることになってしまいますよ」

こう指摘されても、私は「そうですね」と答えるでしょう。寒がりでないことが言われている以上、この問題文が真であることに間違いないのです。

noname#19838 · Answer

No.5です。すみません、No.8さまのように受け取れてしまう書き方だったようですね。

さいごに挙げた３つは、それぞれ独立したものとして書いたつもりでした。問題文の「ペンギン」の部分になにが入っていてもこの論理は真になるということを示したつもりだったのですが、誤解が生じてしまったならお詫びします。

「ぜんぶ論理的に真」ではなく、「それぞれが論理的に真」と書けばよかったのかな……。

tttt23 · Answer

事実と異なる仮定のもとでは何でも言えるということですね。

「もし私が今１億円持っていたら、全部あなたにあげます。」

なら誰でも理解できますね。

「もし私が今１億円持っていたら、あなたはペンギンです。」

も論理的には同じです。

寒がりではないことが分かっているとき、

「あなたが寒がりなら、あなたはペンギンです。」

も同じことです。

Ganymede · Answer

「ぜんぶ論理的に真」なら、「あなた」はコンピュータウイルスかつケロロ軍曹かつ空飛ぶ絨毯であることになってしまいますよ。しかし、「あなたはコンピュータウイルス」が真なら「あなたはケロロ軍曹」は偽です。なぜなら、コンピュータウイルス ≠ ケロロ軍曹だからです。
「あなたは寒がり」だけからは、「あなたはペンギン」を論理的に導けません。小前提だけでなく大前提も必要なことが、分かっていらっしゃらないようです。

nanashisan · Answer

もう既に回答がでていますのでそれ以上書きませんが、混乱する回答がでているのは国語のカテだったからかもしれません。数学のカテなら全員一致の回答だったと思います。

Segenswind · Answer

この論理は正しく、問題文も完全です。
ただ、前提となっている「ＰならばＱ」が「Ｐでない、あるいはＱ」と同じだという話について説明すると、

「ＰならばＱ」とは、別の言い方をすると、どんな要素ｘについても、常に「ＰのくせにＱじゃないなんてことはないよ」が成り立つという命題です。

　　￢（Ｐ∧（￢Ｑ））　　　￢：～でない　　∧：かつ

ここでＰが「寒がりである」、Ｑが「ペンギンである」とすれば、

　　￢（（寒がり）∧（￢（ペンギン）））
　＝（（寒がり）のくせに（ペンギンじゃない））なんてことはないよ

となり、

　　「ｘが寒がりならば、ｘはペンギンだ」
　＝「寒がりのくせにペンギンじゃないｘはいない」

ということになります。この２つが同じなのは分かるかと思います。

ここで有名なド・モルガンの法則というものがあります。

　　￢（Ａ∧Ｂ）＝（￢Ａ）∨（￢Ｂ）　　∨：または

これに当てはめると、否定の否定は肯定なので、

　　￢（Ｐ∧（￢Ｑ））＝（￢Ｐ）∨（￢（￢Ｑ））＝（￢Ｐ）∨Ｑ
　＝（寒がりでない）または（ペンギンだ）

となり、かくして、

　　「ｘが寒がりならば、ｘはペンギン」
　＝「ｘは寒がりでないか、ｘはペンギンであるかのどちらか」

となりました。

言葉だけだと複雑ですが、集合図を描いてみると簡単に分かると思います。

論理の問題 「あなたはペンギン」

ちょっとみなさんの回答がずれている気がしたので……。

「あなたが寒がりではない」場合に、

毎度お騒がせしております。

No.6です。

すみません、これで最後にします。

No.5です。

事実と異なる仮定のもとでは何でも言えるということですね。

「ぜんぶ論理的に真」なら、「あなた」はコンピュータウイルスかつケロロ軍曹かつ空飛ぶ絨毯であることになってしまいますよ。

もう既に回答がでていますのでそれ以上書きませんが、混乱する回答がでているのは国語のカテだったからかもしれません。

この論理は正しく、問題文も完全です。

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