友達からの依頼です。
『内角の和が270度である一辺の長さがaの正三角形の面積を求めなさい』という問題がわかりません。
答えもわからないのですが、その前に三角形の内角の和が270度だというのもわけが分かりません。180度じゃないんですか?
ですので、内角の和が270度の説明と、答えを教えて下さい。
お願いします!!

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A 回答 (12件中11~12件)

これは球面幾何かもしれませんね。


非ユークリッド幾何学の一種です。

地球の表面を考えてください。経度0度と経度90度の2つの経線と、
赤道で囲まれる北半球の部分は三角形ですね。
経線と2本とも赤道と直角に交わりますから、この2つの内角の和は
180度。さらに経度0度と経度90度の線は直角に交わるので、
これを足して270度。つまりこの三角形の内角の和は270度です。
そしてこの三角形の3辺の長さはすべて等しいので、正三角形です。
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます。
promeさんの回答を、地球儀を見ながら考えました。
>地球の表面を考えてください。経度0度と経度90度の2つの経線と、
赤道で囲まれる北半球の部分は三角形ですね。
2本の経線って展開図にしたらホントに直線なんでしょうか?ボクには曲線にしか・・・。
その前に展開図にできるんでしょうか??展開したら180度になるような・・・・・。
あぁ・・・、頭から湯気が。
もう少し時間かけて想像してみます。

お礼日時:2002/03/07 23:41

「正三角形」であれば、それぞれ60度に決まっていますよね。


高さは、√3/2・aですから、面積はすぐですが・・。
これは「なぞなぞ」の類いなんじゃ・・・?
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます。
なぞなぞなんでしょうか?
これは某高校の課題らしいのですが・・・。

お礼日時:2002/03/07 23:28

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ということ利用して求めてたのですが、
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こちらは、面積が等しいことはわかるのですが・・・

初歩的なことでもうしわけないのですが、ご助言のほどお願いいたします。

Aベストアンサー

三角形ABE=三角形FCE も 三角形ABC=三角形BCF も合同ということではなく、面積が等しい(質問者さんの理解で正しい)と思います。

この条件だけで、この問題は解けます。

△EBCの面積は、 平行四辺形の面積の半分 から △ABEの面積を引いたもの。
一方、△CDFの面積は、 並行四辺形の面積の半分 から △ACFの面積を引いたもの。

なので、△ABEの面積と△FCEの面積が同じことから、差の3は、△AEFの面積だということが分かります。

後は、△EBCと△AEFが相似であること(これは質問者さんならきっと簡単に分かりますよね)から、比が求められます。

ご参考に。

Q三角形の内角の和は本当に180度か

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これを私達の3次元に拡張して、非常に離れた(宇宙の大きさと同じくらい離れた)3点を結び巨大な三角形をつくると同じように270度とかになったりすることがあるのかななどと思ってしまいましたが、何か大きな勘違いをしているのでしょうか?

Aベストアンサー

ユーグリッド幾何学の公理の中に
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線が
ただ一つ引ける』
というものがあります
一般的に平行線公理と呼ばれていますが
この公理があれば
三角形の内角の和が180°であることが証明できます

しかし、これは公理系から証明できるという問題で
実際にこの公理系に当てはまるモデルを考えなければ意味がありません
で、このユーグリッド幾何に当てはまるモデルが真っ平らな平面上での幾何学なのです

質問者さんが考えている球面上でのモデルでは
平行線公理が成り立たず
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線は存在しない』
となります、言い換えると
『2直線は必ず交わる』
となり、平行線公理の代わりにこの公理を取り入れたものが
非ユーグリッド幾何です

この非ユーグリッド幾何の公理系から導き出される定義の一つに
『三角形の内角の和は180°より大きい』
があります
つまり、球面上での幾何学は非ユーグリッド幾何のモデルであり
そのモデルでは確かに質問者さんの言うことは正しいのです

ちなみに、宇宙空間上で三角形を書いて
内角の和が本当に180°になるかと言うのは
数学の問題ではなく物理学の問題です
宇宙が明日消えてしまったとしても、平面に三角形を書いて内角の和を考えることは出来るのです、宇宙が消えてしまえば考える人も消えてしまいますが
(数学ではユーグリッド幾何が成り立つ、または成り立たないと最初に決めて話を進めます)

この問題に対する答えは、アインシュタインが相対性理論の中で出してくれていて
私たちの住む宇宙では、ユーグリッド幾何は近似的にしか成り立たないそうです
つまり、重力によって時空自体が歪められてしまう
私たちの宇宙では三角形の内角の和はだいたい180°にしかならないということですね

さらに補足ですが
球面は我々がユーグリッド幾何の範囲で考えているので
曲面に見えますが、非ユーグリット幾何ではその球面を
平面として扱います
まぁ、球面もユーグリッド幾何の意味で使ってますが
平面も、直線もいわゆる無定義語なので、公理系を満たせば何でも構わないんですね

ユーグリッド幾何学の公理の中に
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線が
ただ一つ引ける』
というものがあります
一般的に平行線公理と呼ばれていますが
この公理があれば
三角形の内角の和が180°であることが証明できます

しかし、これは公理系から証明できるという問題で
実際にこの公理系に当てはまるモデルを考えなければ意味がありません
で、このユーグリッド幾何に当てはまるモデルが真っ平らな平面上での幾何学なのです

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平行...続きを読む

Q中学数学 三角形の面積の求め方と三平方の定理

三平方の定理を使った、三角形の面積の求め方について教えてください。

一辺が6cm、の正三角形の面積を求める場合、
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Aベストアンサー

『三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、単純に6×6÷2』
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Q「三角形の内角の和が180度」の証明

「三角形の内角の和が180度」と習いましたが、
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Aベストアンサー

(1)錯角は等しい
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Q三角形ABFと三角形DEFの面積は等しいのですが、なぜですか?

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辺ADと辺BEが平行なら、△ABEと△DBEの面積は等しい。
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よって
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Q(?_?) 数学の幾何で「三角形の内角の和は180度」と習いましたが、これは球体の上でもそうなんでしょうか?

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 もし180度でなければ、何度になるんでしょうか? 

Aベストアンサー

もう、回答は出てるみたいですけど、一応説明。

三角形の内角の和が180度というのは前出の様に
「ユークリッド空間」でのみ成り立つ話です。
「ユークリッド空間」というのはユークリッドさんの考えた公理が成り立つ空間のことで、普通の2次元平面のことです。

ユークリッドの5つの公理は以下の通りです。
1. 勝手な点と、これと異なる他の勝手な点とを結ぶ直線は、一つ、そしてただ一つ引くことができる
2. 勝手な線分は、これを両方への望むだけ延長することができる
3. 勝手な点を中心として、勝手な半径で円をかくことができる
4. 直角はすべて相等しい
5. 一直線が二直線に交わるとき、もしその同じ側にある内角を加えたものが二直角より小さかったならば、二直線はこの方向へ延長してゆけば、必ず交わる

見ての通り、5つ目の公理は妙に長いのがわかると思います。
で、「5つ目の公理っていらないんじゃん?」とか考えた人が沢山居たわけです。
そのうちの一人で有名なリーマンさんが考えた5つ目の公理が以下のものです。
「一点をとおって、この点を通らない直線と交わらない直線をひくことはできない」

これはよくよく考えると、球面のような空間のことでした。
で、地表面はリーマン空間に相当しますので、ユークリッドの公理から導かれる「三角形の内角の和は180度」というのは成り立ちません。
また、No.1でも書かれているように、その和は一定ではありません。

で、非ユークリッド空間は「一点を通って、この点を通らない直線と交わらない直線を無数にひくことができる」といった公理も取ることができて、
こちらの代表は双曲面だったりします。
こっちの場合に内角の和が180度より小さいとかの現象が出ます。
蛇足ですが、リーマン空間の三角形は頂点のを決めても二つできますのでご注意。三本の直線で区切られた空間のどちらが三角形の内角だか決まらないためです。

もう、回答は出てるみたいですけど、一応説明。

三角形の内角の和が180度というのは前出の様に
「ユークリッド空間」でのみ成り立つ話です。
「ユークリッド空間」というのはユークリッドさんの考えた公理が成り立つ空間のことで、普通の2次元平面のことです。

ユークリッドの5つの公理は以下の通りです。
1. 勝手な点と、これと異なる他の勝手な点とを結ぶ直線は、一つ、そしてただ一つ引くことができる
2. 勝手な線分は、これを両方への望むだけ延長することができる
3. 勝手な点を中...続きを読む

Q三角形の面積の求めかた

友人に頼まれ、問題を解いたのですが答えがあっているのかいまいち自信が持てません。
間違った答えを教えるのも心苦しいので、こちらで数学の得意な方に答えあわせをしていただければと思い質問を立てました。

図が表示できないので少し面倒かもしれませんが、助けてくださると嬉しいですm(_ _)m
よろしくお願いいたします


三角形ABCにおいて、AB=2√3、∠A=75°、∠B=45°である。
また、頂点Aから辺BCに引いた垂線がBCと交わる点をHとする。
この時三角形ABCの面積を求めなさい。


私は三角形ABHと三角形AHCの面積をそれぞれ求め、
三角形ABCの面積は 3+√3 になりました。

Aベストアンサー

三角形ABHの面積は
(1/2) × AH × BH
=(1/2) × √6 × √6
=3

三角形ABCの面積は
(1/2) × CH × AH
=(1/2) × √2 × √6
=√3

三角形ABCの面積は3 + √3であっています。

Q問1の理由を説明しなさいという問題で、『二等線三角形の底角は、等しい。内角の和は180度 外角の性質

問1の理由を説明しなさいという問題で、『二等線三角形の底角は、等しい。内角の和は180度 外角の性質により』の続きになんと書けばいいですか?

Aベストアンサー

点Oにおける2つの二等辺三角形の外角の合計は、180° で、
2つの二等辺三角形の底角の合計である∠ACBの2倍でもあるので、
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でどうでしょうか?(58歳)

Q空間における三角形の面積は外積で求められない?

平面における三角形の面積は、外積(平行四辺形の面積)を
2で割って求められました。
空間における三角形の面積を求めようと、外積を求め2で割っても
三角形の面積になりませんでした。
なぜなのでしょうか?

Aベストアンサー

>外積=ベクトルなんでしょうか?
そうです!! ここが、質問者さんが勘違いされていたところですね。
外積と呼ばずに「ベクトル積」と呼べ(覚えれ)ば、誤解しなかったですね。
これに対し、内積はスカラー積とも呼ばれています。

参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node63.html

Q"三角形の内角の和は180°"に関してです。

曲面とかだと、三角形の内角の和は180°にはならないという話を聞きました。
そこで質問なのですが、平面上ならば"絶対に180°"というのに例外はないのですか?
数学に詳しい方、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

例外はありません。証明は自分で考えてください。


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