No.2ベストアンサー
- 回答日時:
シンプルに考えてみます。
合成関数の微分は大丈夫ですよね?
tan(x)'=1/cos(x)^2
です。
だから、
y'=tan(x/2)'÷tan(x/2)
={1/cos(x/2)^2÷tan(x/2)}×(x/2)'
={1/cos(x/2)^2÷sin(x/2)/cos(x/2)}×1/2
=約分して
={1/cos(x/2)sin(x/2)}×1/2
=1/2sin(x/2)cos(x/2)
=2倍角の公式を使って
=1/sin(x)
これじゃだめですかね?
No.1
- 回答日時:
まず、y'={tan(x/2)}'/tan(x/2)ですよね。
ここで、半角の公式から、tan^2(x/2)=(1-cosx)/(1+cosx)なので、
tan(x/2)>0とすれば、tan(x/2)=√{(1-cosx)/(1+cosx)}
すると、
{tan(x/2)}'={(1-cosx)/(1+cosx)}'/[2√{(1-cosx)/(1+cosx)}]・・☆
ここで、
{(1-cosx)/(1+cosx)}'={sinx(1+cosx)+sinx(1-cosx)}/(1+cosx)^2
=2sinx/(1+cosx)^2 なので、
☆は、={2sinx/(1+cosx)^2}/{2tan(x/2)}
=sinx/{(1+cosx)^2*tan(x/2)}
よって、
y'=sinx/{(1+cosx)^2*tan^2(x/2)}
tan^2(x/2)=(1-cosx)/(1+cosx)を入れて、1+cosxを約分すると
=sinx/{(1+cosx)(1-cosx)}
=sinx/(1-cos^2x)
=sinx/sin^2x
=1/sinx
そして、tan(x/2)<0のときも同じ結果です。
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