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平均自乗と標準偏差の違いがよくわかりません。
どうやら平均が0の時のみ一致するようですが、平均が0ではない時は違う値をとるようです。どなたか分かりやすく説明してくれませんか?
よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

平均自乗という言い方はあまり目にした記憶がないので、二乗(自乗)平均のことだとして話をします。


(平均自乗だと、単に平均値を二乗したものとまぎらわしい。)

i番目のデータをxi、データ数をnとし、平均を<・・・>で表すことにすると

平均 <x> = (Σxi)/n
二乗平均 <x^2> = (Σxi^2)/n
分散 σ^2 = {Σ(xi-<x>)^2}/n
標準偏差 σ = √[{Σ(xi-<x>)^2}/n]

です。分散を計算していくと

σ^2 = {Σ(xi-<x>)^2}/n={Σ(xi^2 - 2xi<x>+<x>^2)}/n
   = {(Σxi^2)-2(Σxi)<x> + <x>^2 (Σ1)}/n
   = (Σxi^2)/n -2 <x> (Σx_i)/n + <x>^2 n/n (Σ1=n)
   = <x^2> -2 <x><x> + <x>^2 = <x^2>-<x>^2

となり、平均が0、つまり<x>=0のときσ^2=<x^2>、もしくは、σ=√<x^2>です。

つまり平均が0のとき

・分散と二乗平均が一致する

もしくは、

・標準偏差と二乗平均の平方根が一致する

が正しい言い方になります。
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確率変数Xにたいして,


V(X) = E[X^2] - E[X]^2
が成り立ちます.Vは分散,Eは平均です.
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標準偏差は、n個のデータがあった時、i番目のデータxiと


n個のデータの平均xmがあった時、
Σ(xi-xm)^2 iは1よりn
ですね。

平均自乗と言った場合、誤差の自乗平均という意味でつかわれる場合が多いです。例えば、実験で、電流をいろいろな値に変化させた場合の電圧を測定した場合、本来の値と測定値には誤差があるので、その誤差の自乗の平均が平均自乗です。この場合、標準偏差の式はあてはまりませんね。
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標準偏差は、n個のデータがあった時、i番目のデータxiと


n個のデータの平均xmがあった時、
Σ(xi-xm)^2 iは1よりn
ですね。

平均自乗と言った場合、誤差の自乗平均という意味でつかわれる場合が多いです。例えば、実験で、電流をいろいろな値に変化させた場合の電圧を測定した場合、本来の値と測定値には誤差があるので、その誤差の自乗の平均が平均自乗です。この場合、標準偏差の式はあてはまりませんね。
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QExcelで平方2乗平均を計算するには

Excel2003で
平方2乗平均を計算するにはどうしたら良いのでしょうか?
手っ取り早い方法を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

訂正。

誤:平方2乗平均は、各要素を2乗した物の和の平方根です。
正:平方2乗平均は、各要素を2乗した物の和を要素数で割った物の平方根です。

従って、A1~A30の30個のセルの平方2乗平均は以下の式で求めます。
=SQRT(SUMSQ(A1:A30)/COUNT(A1:A30))

平方和を要素数で割るのを忘れてました。

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
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では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Q平均値と最小自乗平均値

いままで、なんとなくわかったつもりでいましたが、
いざ,自分が使おうとすると考え込んでしまって
どうすればいいのか、頭がゴチャゴチャしてきました・・・。
この二つの意味の違いと、どういう時に使い分けるのかを
教えてください。

Aベストアンサー

まず、補足要求させてください。
できたら、最小自乗平均値の定義を教えてください。

以下、推測に基づいて書いちゃいますが、

最小自乗平均値というのは、おそらく、
ある中央値みたいなのを1つ決めると、それと各データとの差の2乗を1個1個足し算した結果が最小になるということでは?
すると、要は、最小二乗法で近似直線を求めるのと同じ考え方になりますね。

さらに、その仮定に基づいて書きますと、
正規分布(ガウス分布)か、あるいはそうでなくても、とにかく左右対称な分布ならば、単純平均値と最小自乗平均値は正確に同じ値になるはずです。

ところが、左右対称とは大きくかけ離れた分布であれば、単純平均値と最小自乗平均値は、かなり異なる値になるでしょうね。

単純平均値を用いずに、わざわざ最小自乗平均を用いるのはなぜか、というのが、ご質問の趣旨ですね?

要はこういうことなのでは?
単純平均値に対して±標準偏差を考えると、標準偏差の値が大きくなっちゃうじゃないですか。
最小自乗平均に対して±標準偏差を考えれば、当然、標準偏差の値が小さくて済みます。

ですから、例えば、あるもののばらつき許容を考えるときに、許容範囲を不必要なまでに広げる必要がなくなるというのが、最小自乗平均の利点だと思います。
というか、むしろ、最小自乗平均を使うほうが、工業的には便利そうですよね。

ただ、単純平均値も、データ全体のことを良く表している数値ですし、計算方法も万民が知っていて理解しやすいですから、捨てがたいのでしょうね。

まず、補足要求させてください。
できたら、最小自乗平均値の定義を教えてください。

以下、推測に基づいて書いちゃいますが、

最小自乗平均値というのは、おそらく、
ある中央値みたいなのを1つ決めると、それと各データとの差の2乗を1個1個足し算した結果が最小になるということでは?
すると、要は、最小二乗法で近似直線を求めるのと同じ考え方になりますね。

さらに、その仮定に基づいて書きますと、
正規分布(ガウス分布)か、あるいはそうでなくても、とにかく左右対称な分布ならば、単...続きを読む

Q2乗和の平方根の意味は?

いくつかの板が重なった状態で
その厚さの合計値を計算するときは
単純にその総和で求めることができると思いますが、

公差を含めた計算をするとき、
公差はそのまま足すのではなく、
2乗和の平方根を算出する計算があると聞きました。

以下に例を示します。

板1・・・厚さ:a±b
板2・・・厚さ:c±d
板3・・・厚さ:e±f
としたとき、

板1、2、3を重ねたときの厚さの総和は

a+c+e±b+d+f・・・(1)

a+c+e±(b^2+d^2+f^2)^0.5・・・(2)

どちらが正しいのでしょうか?

ちなみに、当方計算した結果、
(1)よりも(2)の方が小さくなりました。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

質問者さんが数学、統計や品質管理をどれぐらい知っておられるか分からないので
簡単に書いておきます。結論から言えば(2)です。

今、a±bと書いてある板はほとんどがa±2/3*b以内に収まります。
極、たまにa+bやa-bを越えることがあります。。確率としてはそれぞれ0.135%ぐらいです。
つまりほとんど起こらないことなんです。
また、寸法公差を表示するときそれぐらいの確率ででるところまで
表示しておけばいいということになります。

ここで

板1・・・厚さ:a±b
板2・・・厚さ:c±d
板3・・・厚さ:e±f

の板を重ねてa+c+e±(b+d+f)が出ることは、ほとんど起こらないはずの
(a+b),(c+d),(e+f)あるいは
(a-b),(c-d),(e-f)
が3連続で起こったことになり、確率的には

P=0.0027^3=0.0000000197

0.00000197%程度となります。
(これは起こらないこととしてもいいと思います)
だから
a+c+e±(b+d+f)
は書き過ぎで
a+c+e±(b^2+d^2+f^2)^0.5
でいいのです。
何故、この式になるかに関して興味がおありでしたら、標準偏差、
正規分布における分散の加法定理といったところを勉強ください。
(知っておられたらすみません)

質問者さんが数学、統計や品質管理をどれぐらい知っておられるか分からないので
簡単に書いておきます。結論から言えば(2)です。

今、a±bと書いてある板はほとんどがa±2/3*b以内に収まります。
極、たまにa+bやa-bを越えることがあります。。確率としてはそれぞれ0.135%ぐらいです。
つまりほとんど起こらないことなんです。
また、寸法公差を表示するときそれぐらいの確率ででるところまで
表示しておけばいいということになります。

ここで

板1・・・厚さ:a±b
板2・・・厚さ:c±d
板3・・・厚...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q2つの正規分布を合成したらどうなるのでしょうか?

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。


平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが



例えば互いに独立で

国語の平均点、分散を(μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
数学の平均点、分散を(μ2,σ2)としての正規分布f(数学)

とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか?

もしμ3=μ1+μ2,σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら

f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}

が答えだと思っているのですが、それとは別のやり方で



f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。

しかし、僕の数学の知識ではこれができなくて困っています。ガウス積分の公式を使ったりしなければいけないのではないかとも考えいるのですが行き詰っています。

アドバイスよろしくお願いいたします。

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。


平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが



例えば互いに独立で

国語の平均点、分散を(μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
数学の平均点、分散を(μ2,σ2)としての正規分布f(数学)

とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか?

...続きを読む

Aベストアンサー

> 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

> μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
2つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z の平均と「分散」をμ3, (σ3)^2 とすると・・・

μ3 = μ1 + μ2
は、X, Y がどのような分布であっても(X, Y が異なる分布であっても)成立しますし、X, Y が互いに独立であるか否かに関わらず成立します。
また、X, Y が互いに独立であれば(それらの分布によらず)、
(σ3)^2 = (σ1)^2 + (σ2)^2
が成立します。(このとき Z = X + Y の「標準偏差」σ3 は、σ3 = √( (σ1)^2 + (σ2)^2 ) )

> f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}
> が答えだと思っているのですが
X, Y が互いに独立な確率変数であり、共に正規分布に従うならば、X + Y もまた正規分布に従うという事実は確かにありますが、これは正規分布の「再生性」と呼ばれる特別な性質であることを理解していなければなりません。その点、大丈夫ですか?

> それとは別のやり方で
> f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
> f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。
上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。
案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。
f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}
g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}
h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt
  = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt
  epx( ) の指数部を t で平方完成して
  = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt
  = 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt
  = 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) }
  (∵ ∫ exp ( - (t - A)^2 / 2B^2 ) dt = √(2π) B )
μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば
h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 )
途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。

なお、本件は確率論において、ごくごく基本的な事項です。
もし、これから確率統計を使って研究をされるのならば、このような件を簡単に質問して済ませるのは危うい感じがします。ちゃんと書籍を読まれ、その上で質問されるのが宜しいでしょう。

> 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

> μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
2つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z ...続きを読む

Q「づつ」?「ずつ」?

今、ワードを使っていて壁にぶつかりました。
恥ずかしながら「~を一つずつ(づつ)あたえる」と入力したいのですが「づつ」と「ずつ」どちらが正解なのでしょうか?
あと「わかる」と言う漢字も、「分かる」「解る」「判る」と色々あってどちらを使って良い物か分からない場合が多いです・・・・社会人としてお恥ずかしい

Aベストアンサー

(1) 「ず」と「づ」は歴史的には発音が違っていましたが、現代では発音上の区別がありません。したがって、『現代仮名遣い』(昭和61年7月1日 内閣告示第1号)では、いくつかの例外を除いて、「づ」を用いないように定めています。ご質問のお答えは、「ずつ」が正解です。

(2) 「分かる」「解る」「判る」は、それぞれ意味が少し違います。
【解る】理解する。ことの筋道がはっきりする。
【判る】判明する。明らかになる。
【分かる】上二つの意味を併せたいい方。
『常用漢字音訓表』(昭和56年10月1日内閣告示)に、「分かる」はあるのですが、「解る」と「判る」は載っていません。「解」も「判」も常用漢字表には含まれていますが、「わかる」という読み方が載っていないのです。新聞やテレビなどのマスコミが「分かる」を優先的に使う理由はそこにあります。
質問者さんが公務員で、公文書を作成されるなら、「分かる」に統一する必要があります。民間の文書や私信なら、「分かる」「解る」「判る」を使い分けて、日本語の奥ゆかしさを味わいたいものです。

Q平均誤差について

物理学の講義で判らなかったことですが、内容が数学的だったので、こちらで質問させてください。

平均誤差と確率誤差の違いが判りません。
講義で、平均誤差と確率誤差、最小二乗法、誤差の伝播の法則などを同時に教えられたので混乱しているのだと思います。
その時にとったノートは、とにかく黒板を写しただけになってしまい、何がどのことなのか判らなくなっています。
平均誤差・確率誤差を教えていただければ幸いです。
最小二乗法はなんとなく判ったので、誤差の伝播の法則はもう少し頑張ってみようと思います。

判りにくい質問文で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

平均誤差eは、誤差の絶対値の平均値であり、式で示せば
e=Σ(i=1→n)|[各測定値]i-[平均値]|/n
これは概念としては単純なのですが、計算が難しく、物理に限らず一般に統計では、あまり用いられません。

そこで登場するのが確率誤差になります。

確率誤差というのは、その誤差を超えるものが全体の50%、誤差以内が50%という境界を定義する誤差で、標準偏差のの0.674倍です。
標準偏差をσ(シグマ)、標準誤差をεと表記します。
ε = 0.674σ
標準偏差σは分散Vの平方根です。
σ=√V
V=Σ(i=1→n)([各測定値]i-[平均値])^2 /n

標準偏差は非常によく用いられる概念なので、覚えること必須です。
エクセルの基本関数の一つでもあります。
(stdなんちゃら関数です)

学力試験の統計結果で「偏差値」が用いられますが、じつは、それは、平均値を50、標準偏差が10になるように統計処理したものなんです。
ですから、偏差値で言うと、50±6.74の範囲にいる受験者が全体の50%とということになります。
56.74以上の偏差値でしたら、4人に1人の優秀者ということですね。

ちなみに、50±10、すなわち、平均値±標準偏差の範囲には、全体の約68.3%が入ります。
偏差値60以上の人は、全体の15.8%になります。

平均誤差eは、誤差の絶対値の平均値であり、式で示せば
e=Σ(i=1→n)|[各測定値]i-[平均値]|/n
これは概念としては単純なのですが、計算が難しく、物理に限らず一般に統計では、あまり用いられません。

そこで登場するのが確率誤差になります。

確率誤差というのは、その誤差を超えるものが全体の50%、誤差以内が50%という境界を定義する誤差で、標準偏差のの0.674倍です。
標準偏差をσ(シグマ)、標準誤差をεと表記します。
ε = 0.674σ
標準偏差σは分散Vの平方根です。
σ=√V
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Q数学のハット記号の意味がわかりません!

参考書にいきなり出て来た、関数の上に載っている"^"記号の意味が分かりません。
調べようにもどの本に載ってるのかもわからず、
ネットで調べようにも記号は調べられず、
ハットで検索しても関係ないものばかり出てくるのでわかりません。
どなたかハット記号の意味を教えてください。

Aベストアンサー

リアプノフ指数の話なら、
?dot{r(t)}=?hat{G}(t)r(t)
のGはヤコビアン行列じゃねーでしょうか。するとハットは行列をスカラーと区別するために付けてる記号かも知れません。だとすると最後の
hat{U}(0)=?hat{1}
の右辺は1じゃなくて単位行列。

Q格子点数と原子数

結晶について学んでおります。
まず、格子点数と原子数の違いが分かりません。

それで、diamondの単位格子の格子点数、原子数を求めようとしたときに、はたと困りました。
まず、diamondのブラベー格子がFである、そのことから、理解ができませんでした。
diamondは、fccを1/4,1/4,1/4ずらしたものの組み合わせだということは知っています。そこからdiamondのブラベー格子がFであるとなるのでしょうか。

ごめんなさい。。書いてて混乱してきました。。意味がとれない部分もあると思いますが、教えてください。

Aベストアンサー

まず結晶格子とは、空間の三方向に等間隔で並んだ点の集まりのことです。
そしてどんな複雑な結晶構造でも、「結晶格子×単位構造」からできています。
このことを少しずつ説明してみたいと思います。

単純立方格子(primitive cubic; cP)は一番わかりやすいと思いますが、ジャングルジムのように
立方体をたくさん詰め込んだような形をしています。ただし、格子とはあくまでも立方体の頂点の
部分だけの集合なので、フレームの部分は含みません。この頂点一つ一つのことを格子点と言います。
8個の格子点を結んでできる、対面が平行な六面体のことを単位胞または単位格子といいます。
単位胞は繰り返しのユニットとなります。先ほど格子はフレームを含まないと言いましたが、
それはこの結び方(単位胞の決め方)が自由であるということです。星座みたいなものだと思って下さい。
べつに菱餅のような形に結んでもいいんですが、ふつうはもっとわかりやすい(対称性の高い)立方体
などの形になるように結びます。

「単純立方格子の単位胞(立方体)にはいくつの格子点が含まれるか」という問題には
1と答えます。なぜ8ではないかというと、立方体の頂点に全て格子点があると考えると、
繰り返し並べた時に別々の立方体から来た8個の格子点が一カ所にかぶってしまうからです。
ですからそれぞれの立方体について8つの頂点のうちたとえば左下手前のものだけをその立方体に
所属する格子点と考えれば1になるわけです。そこを原点O(0,0,0)にとります。

単純立方格子をとる結晶構造のうちもっともシンプルなのは単純立方構造(simple cubic; sc)です。
これは単位胞の頂点の位置だけに一種類の原子を置いた構造で、ポロニウムのα相がこの構造です。
「格子」と「構造」はどう違うのかと思われるかもしれませんね。実際には同一視されている解説が
ほとんどですが、格子はまだ原子(やイオン)を置く前の、単なる位置の基準点の集合です。
単位胞の中に原子を置いて初めて構造になります。これが「結晶格子×単位構造=結晶構造」の意味です。
scの場合は「単純立方構造の単位胞にはいくつの原子が含まれるか」の答も1となります。

他には塩化セシウム型構造が単純立方格子です。これはセシウムイオン(Cs+)を単純立方格子の
原点(0,0,0)に置いたとき、塩化物イオン(Cl-)が立方体の中央(1/2,1/2,1/2)にくる構造です。
Cs+(0,0,0)とCl-(1/2,1/2,1/2)のペアが単位構造であり、それが各単位胞の中にあるということです。
別の見方をすればCs+だけでできた単純立方構造とCl-だけでできた単純立方構造を(1/2,1/2,1/2)だけ
ずらして重ねたと考えることもできます。しかし、あくまでも塩化セシウム構造としての単位胞は
どちらか片方だけですから、単位胞内の格子点数は1のままで原子数は2となります。

やっとダイアモンド構造に近づいてきました。ダイアモンド格子は面心立方格子(cF)をとります。
単純立方格子と比べると立方体の中にあらかじめ
 O(0,0,0)、A(0,1/2,1/2)、B(1/2,0,1/2)、C(1/2,1/2,0)
の4か所に格子点があります。他の点、たとえば(1/2,1/2,1)の格子点はひとつとなりの立方体
に所属するものと考えます。あらかじめ格子点が4つあるというのはどういう事かと言うと、
うまく単位胞を選ぶと立方体の1/4の体積のものが作れて、その中の格子点数は1になります。
このような単位胞は基本単位胞といい、たとえばOA、OB、OCを三辺とする菱形六面体がそのひとつ
です。しかしそれでは形が分かりにくいのでふつうは体積4倍の立方体の単位胞を考える代わりに
格子点数が4になっているのです。

面心立方構造(fcc)は面心立方格子の格子点にだけ原子を置いたもので、単位胞内の
格子点数は4、原子数も4です。一方、ダイヤモンド構造は炭素原子を
O(0,0,0)、O'(1/4,1/4,1/4)
A(0,1/2,1/2)、A'(1/4,3/4,3/4)
B(1/2,0,1/2)、B'(3/4,1/4,3/4)
C(1/2,1/2,0)、C'(3/4,3/4,1/4)
の8カ所に置いた構造です。これは原点に付随する(0,0,0)(1/4,1/4,1/4)の2つの炭素原子を
単位構造として、A、B、Cの3格子点にもコピーしたものと考えることができます。fccを
(1/4,1/4,1/4)だけ平行移動して重ねたものと捉えても構いませんが、ダイヤモンド構造として
の単位胞はあくまでも(0,0,0)を原点とするものだけですから、格子点数4、原子数8となります。

以上長くなってしまいましたがわからなければまたおっしゃって下さい。

まず結晶格子とは、空間の三方向に等間隔で並んだ点の集まりのことです。
そしてどんな複雑な結晶構造でも、「結晶格子×単位構造」からできています。
このことを少しずつ説明してみたいと思います。

単純立方格子(primitive cubic; cP)は一番わかりやすいと思いますが、ジャングルジムのように
立方体をたくさん詰め込んだような形をしています。ただし、格子とはあくまでも立方体の頂点の
部分だけの集合なので、フレームの部分は含みません。この頂点一つ一つのことを格子点と言います。
8個の格子点を...続きを読む


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