Βスプライン曲線とベジェ曲線について

パソコンの本を読んでいてtruetypeフォントは２次のΒスプライン曲線を使っていますと紹介されて以下の２式で描けますとだけしか書かれていなかったのでよくわかりませんでした。
Βスプライン曲線の
x=(1-t)^2x1+2(1-t)tx2+t^2x3
y=(1-t)^2y1+2(1-t)ty2+t^2y3
0≦ｔ≦1
という式はどのように導き出すのでしょうか？
また
ベジェ曲線についてもどのように導き出すのでしょうか?

No.1 回答者： hiiniichan 回答日時： 2006/11/14 15:06

合ってるかどうかは？ですが…

【Bスプライン】
始点：P1(X1,Y1)　終点：P3(X3,Y3)　制御点：P2(X2,Y2)

二次曲線を媒介変数(t)を用いて次のように表すことにする
X=F(t)=Ax・t^2 + Bx・t + Cx
Y=G(t)=Ay・t^2 + By・t + Cy
(0≦t≦1)

t=0のとき(F(t), G(t)) = P1(X1, Y1) となるためには
Cx = X1　　Cy = Y1

t=1のとき(F(t), G(t)) = P3(X3, Y3) となるためには
Ax + Bx + X1 = X3　→ Ax + Bx = X3 - X1
Ay + By + Y1 = Y3　→ Ay + By = Y3 - Y1

t=0のとき曲線が線分P1-P2とP1において接するためには
F'(t)=2・Ax・t + Bx　　G'(t)=2・Ay・t + By
F'(0) : G'(0) = Bx : By = X2 - X1 : Y2 - Y1
となっていなければならない。
係数nを導入して次のように置くことにする
F'(0) = Bx = n・(X2 - X1)
G'(0) = By = n・(Y2 - Y1)

またt=1のとき曲線が線分P2-P3とP3において接するためには
F'(1) : G'(1) = 2・Ax + Bx : 2・Ay + By = X3 - X2 : Y3 - Y2
となっていなければならない。
係数kを導入して次のように置くことにする
F'(1) = 2・Ax + Bx = k・(X3 - X2)
G'(1) = 2・Ay + By = k・(Y3 - Y2)

これを解いていくと
Ax = {k・(X3 - X2) - n・(X2 - X1)}/2
Bx = n・(X2 - X1)
Cx = X1
(以下Ay,By,Cyについては同型なので省略する)

これを元の式　F(t)=Ax・t^2 + Bx・t + Cx に代入し X1, X2, X3
についてまとめると、
F(t)={k・(X3 - X2) - n・(X2 - X1)}/2・t^2 + n・(X2 - X1)・t + X1
　=(n/2・t^2 - n・t + 1)・X1 - {(k+n)/2・t^2 - n・t}・X2 + k/2・X3・t^2

P1とP3が逆になったときでもこの曲線が同じ軌跡を描くためには。
H(t)=(n/2・t^2 - n・t + 1)・X3 - {(k+n)/2・t^2 - n・t}・X2 + k/2・X1・t^2
において
H(1) = (n/2 - n + 1)・X3 - {(k+n)/2 - n}・X2 + k/2・X1
　= (1 - n/2)・X3 - {(k-n)/2}・X2 + k/2・X1 = F(0) = X1
が常に成り立たねばならないことから
n=k=2

F(t)={k・(X3 - X2) - n・(X2 - X1)}/2・t^2 + n・(X2 - X1)・t + X1
　=(t^2 - 2・t + 1)・X1 - {2・t^2 - 2・t}・X2 + X3・t^2
　=(t-1)^2・X1 + 2・(1-t)・t・X2 + X3・t^2
同様に
G(t)=(t-1)^2・Y1 + 2・(1-t)・t・Y2 + Y3・t^2

ふぅ…疲れた...(o_ _)oバタッ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
長文で書いていただき、大変恐縮しています。

お礼日時：2006/11/15 06:13

No.2 回答者： hiiniichan 回答日時： 2006/11/14 15:31

がんばって式をこねくり回してみましたけど、

何でこんな式になるのかは知る必要なかったような気が…

曲線の始点を(x1,y1)、制御点を(x2,y2)、終点を(x3,y3)とする
Βスプライン曲線はtの値を0～1まで少しずつ動かしながら
　x=(1-t)^2・x1+2(1-t)・t・x2+t^2・x3
　y=(1-t)^2・y1+2(1-t)・t・y2+t^2・y3
で座標を計算して結んでいけば描けます。
と言っているだけだと思いますが…

No.3 ベストアンサー 回答者： take008 回答日時： 2006/11/14 18:28

こんなことをしたことありませんか？

ｘ軸上の点 Ｐ(1-t,0) とｙ軸上の点 Ｑ(0,t) を結ぶ（t=0.1,0.2,…,1.0)。
すると，曲線が浮かび上がって見えますね。
これは45゜傾いた放物線で，ｘ軸，ｙ軸が接線になっています。
すべてのＰＱも接線で，接点はＰＱの ｔ：１－ｔ の内分点になります。

これは，Ａ(x1,y1)，Ｂ(x2,y2)，Ｃ(x3,y3）について，次のように一般化されます。
ＡＢ，ＢＣの ｔ：１－ｔ の内分点をそれぞれ Ｐ，Ｑ とし，それを結ぶと，放物線が浮かび上がります。
放物線と ＰＱ の接点Ｒは ＰＱ の ｔ：１－ｔ の内分点になります。
特に，ＡＢ，ＣＢ はそれぞれ Ａ，Ｃ における接線になります。

位置ベクトルを計算すると
ｐ＝(１－ｔ)ａ＋ｔｂ
ｑ＝(１－ｔ)ｂ＋ｔｃ
ｒ＝（１－ｔ)ｐ＋ｔｑ＝(１－ｔ)^2ａ＋２ｔ(１－ｔ)ｂ＋ｔ^2ｃ

参考ＵＲＬの「３点を通る放物線」参照

参考URL：http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Program/Math/

この回答へのお礼

ありがとうございます。
自分で計算したとき比のとりかたが間違って結果どうりの答えがもとめられませんでした。再確認させていただき、もう一度計算しなおしたらできました。
間違った原因はＡＢをｔ：（１－ｔ）ＢＣを（１－ｔ）：ｔと置いてしまっていたせいです。
理解できました。本当にありがとうございます！

お礼日時：2006/11/15 06:24