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非ユークリッド幾何学について調べていたのですが、楕円幾何学という言葉をきいても具体例が乏しくてなんのことやらよくわかりません。
さわりだけでもよいので教えて頂けませんか?

A 回答 (2件)

ユークリッド幾何の第五公準を


以下のものに置き換えたものです

一直線LとL外の一点pに対して
pを通りLと平行な直線は存在しない

これの例としてよくでてくるのが「球面幾何」です.
つまり,球面上で考える幾何です.
球面の中心を中心とし,球面上の二点x,yを通る円を考えます.
このとき短い弧xyを球面上の「直線」とします.
こうするとこれは「楕円幾何」の例になります.
球面の極率は正だということもポイントです.

もういっぽうの双曲幾何ですが・・
これはちょっと説明しにくい・・・
曲率が負ってのが言葉だけだとつらいですが
「馬の鞍」みたいな「ひっこんだ」イメージでしょうか.
これを球面モデルのような「モデル」で書いたものに
ポアンカレモデルとかミンコフスキモデルってのがあります.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
なぜ「球面幾何学」と呼ばずに、楕円なのだろう?球面と楕円は別物として存在するのだろうか?と混乱しておりました。

でも、球面上の幾何学における円を考えると、どうしても楕円になってしまう。
そこから「楕円幾何学」という呼称がついたと考えてよろしいのでしょうか?

また、負の場合には「最短距離が直線」と定義すると、図形の内側に向かって歪曲してしまう場合と考えてよろしいのでしょうか?
その点を楕円と比較して「双曲線幾何学」と呼んでいるということで大筋あってますかね…。
数学における何の値が負になると、そのようになるのか今の私にはわかりませんが…

お礼日時:2006/12/03 20:05

「リーマンとアインシュタインの世界」リワノワ著東京図書と言う本の68ページの最後に、リーマンの幾何学には「楕円幾何学」という別名、ロバチェフスキーの幾何学には「双曲線幾何学」という別名があると言うことが書いてあります。

リーマンの幾何学では多様体(空間)の曲率が正、ロバチェフスキーの幾何学では負だそうです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

リーマンの幾何学=楕円幾何学
ロバチェフスキーの幾何学=双曲線幾何学

という認識で間違いないでしょうか?

お礼日時:2006/12/03 19:56

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Qユークリッド幾何学とは?

ユークリッド幾何学とは何なのでしょうか?
わかりやすく教えてください。
また、非ユークリッド幾何学とは
ユークリッド幾何学と何が違うのでしょうか?

Aベストアンサー

ユークリッド幾何とは、私たちが普通に考えている、当たり前の図形の性質が成り立つ空間のことです。
わかりやすくいえば、三角形の内角の和が180°であり、ある直線に対して、その直線上にないある定点から平行線が一本しか引けない、三平方の定理が当たり前に成り立つ空間です。
非ユークリッド幾何は、ある直線に対して、その直線上にないある定点から平行線が何本(2本以上)も引ける、双曲幾何、逆に、一本も平行線が引けない楕円幾何、などがあげられます。
違いは私たちの知っている図形の性質が必ずしも当てはまるわけではないということでしょう。(先にあげた、三平方の定理や、三角形の内角の和が180°であることなど。)


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