相関がないのに相関係数が１？？？

相関係数の意味を考えていて、理解できないことが出てきたので教えて下さい。

変数Xと変数Yの相関係数の求め方は、データ数がnの時、
　１．変数X,Yの平均値を求める。ここでは、X^、Y^と書くことにします。
　２．変数X,Yの標準偏差を求める。ここでは、σx、σyと書くことにします。
　３．変数X,Yを基準化する。
　　　　基準化したX＝(X-X^)/σx、　基準化したY＝(Y-Y^)/σy
　４．基準化したX,Yの積の平均が相関係数である。
　　　　r=1/n・Σ{(基準化したX)・(基準化したY)}
となります。

基準化したXと基準化したYの積が全て1のデータの場合、
例えば、(1,1)、(0.5,2)、(0.4,2.5)、(0.1,10)、(0.01,100)、(-1,-1)、(-0.5,-2)、(-0.4,-2.5)、(-0.1,-10)、(-0.01,-100)‥‥‥
双曲線になりますが、平均値と標準偏差で元のデータに戻しても、双曲線みたいなデータの散布図になります。つまりXが大きければYも大きいという関係がないにもかかわらす相関係数は1になってしまいます（というか1になるようにデータを選んだ）。

考え方に間違いがありますか。

No.3 回答者： inqstv 回答日時： 2006/12/12 17:40

ご提示のデータ例では、そもそも相関係数は1にならないと思いますが。

（見えている10個のデータでは、およそ0.04になると思います。）

この回答へのお礼

基準化したデータを積が１になるように調整したことで、基準化されてない状態にしてしまってました（基準化：平均がゼロ、標準偏差が１になるようにすること）。
悩みは解決しました。回答いただいた３名の方、ありがとうございました。

お礼日時：2006/12/13 11:32

No.2 回答者： solla 回答日時： 2006/12/12 17:39

一般に、Xが標準化（基準化）されているならY=(1/X)は標準化されません。

したがって

> 基準化したXと基準化したYの積が全て1のデータの場合、

という前提が誤りです。そのようなデータは一般には存在しません。
唯一、データの組が(1,1)、(-1,-1)の場合にX,Yともに標準化されていますが、この場合は2点ですので必ず一直線上に存在し、r=1と矛盾しません。

No.1 回答者： chirubou 回答日時： 2006/12/12 15:34

参考 URL にもありますように、相関係数は一次式で近似可能な「相関」について言っているだけで、双曲線や２次式以上の高次な式での関係については、相関係数からは分かりません。

てな感じでしょうか。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/相関係数