痔になりやすい生活習慣とは?

フレネル領域として近似できる条件として
z^3 >> 1/8λ((x-u)^2+(y-v)^2)^2
z:開口と観測面の距離、λ:波長、(x、y):開口上の座標、(u,v):観測面の座標
という条件があるようなのですが、実際に開口の大きさ(直径)が1cmだとしたらどのくらいの距離になるのでしょうか?観測面上の座標(u,v)をどのように置いたらいいのか分からなくて悩んでおります。距離の計算過程も教えていただけないでしょうか?

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A 回答 (2件)

補足です。


最初の回答にある「近接領域」というのは私の造語です。フレネル領域は別名、近傍領域と言うので、それより近いという意味でつけました。

>ただ、{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3 ) ~ D^4/(8w^3 ) のように近似していいものか悩むところでもあります。。

手持ちのテキストにはこの領域のことは書いてありませんでしたので間違っているかもしれません。もしこの問題がレポートか何かなら、ちゃんと調べてみてください。

>フレネル近似はフラウンホーファー近似を厳密化したしたものですから、フランウンホーファ領域を含んいると思います。

確かに、フレネルはフラウンホーファーの式を厳密化したものなので、式的にはフラウンホーファーを含んでいますね。ただ、テキストの図では、実線で3つのゾーンにはっきり分けて描かれています(問題の近接ゾーンは斜線になっていて名前が何も書かれていません)。
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手元の参考書によると、開口面(1辺がDの正方形)からの距離をzとしたとき


フレネル領域:z<D^2/λ
フラウンホーファ領域:D^2/λ<z
となっています。問題は円開口のようですが、オーダは同じだと思いますので、D=1cm、λ=630nm(赤色)ならばz=158.7mが境界となります。

conv2006さんの表記では開口面が(x,y)、観測面が(u,v)となっているので、以下、それに合わせます。開口内の1点(x0,y0,0)と観測点(u,v,w)との距離 r が回折像の式の中に出てくるのですが、それを多項式で近似したときに、何次までとるかでフレネル領域とフラウンホーファ領域に分けられます。

r = √{w^2+(x0-u)^2+(y0-v)^2}
= w√[1+{(x0-u)^2+(y0-v)^2}/w^2]
= w + {(x0-u)^2+(y0-v)^2}/(2w) - {(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3) + ...
= w + (u^2+v^2)/(2w) - (x0u+y0v)/w + (x0^2+y0^2)/(2w) - {(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3) + ... --- (1)

式(1)の第3項までとったのがフラウンホーファ近似、第4項までとったのがフレネル近似です。どっちをとるかは第4項 (x0^2+y0^2)/(2w) の大きさにより、テキストによると

(x0^2+y0^2)/(2w) = π/k = λ/2

を境目としているようです。1辺の長さがDの正方形の開口の場合に計算すると、 w = D^2/λのときに上式が成り立つとのことです。

conv2006さんのは「z^3 >> 1/8λ((x-u)^2+(y-v)^2)^2」を条件としていますが、これは式(1)の第5項が<<1という条件に相当すると思います。これはフレネル近似すら使えない近接領域ですね(そうか、conv2006さんが知りたいのは近接領域とフレネル領域の境界ですね)。上と同じように計算して、D^2 ~ {(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2と近似すれば、

{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3 ) ~ D^4/(8w^3 ) = λ/2
w^3 = D^4/(4λ)

となるのではないでしょうか?最初と同様に、D = 1cm、λ = 630nm(赤色)で計算すると、w = 0.158mとなりました。したがってフレネル近似できるフレネル領域は、D = 1cm、λ = 630nm(赤色)ならば、0.158 m< w <158.7m になるのでしょうかね。以上はあくまで正方形開口の場合(円開口なら、円筒座標系を使うはずですが、なぜ(x,y,z)なのですか?)

【参考文献】 飯塚啓吾「光工学」(共立出版)pp. 37-39
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この回答へのお礼

早速の詳しいご回答ありがとうございます。質問が分かりにくくて混乱させてしまったみたいですいません。inaraさん御指摘のように質問はフレネル領域と近接場の境界についてです。
{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3 ) ~ D^4/(8w^3 ) のように近似するということですね。

inaraさんの式(1)の第五項とフレネル近似のz^3 >> 1/8λ((x-u)^2+(y-v)^2)^2を見比べると、どうやら、
{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3) = λ
としたほうがよさそうですね。
これでD = 1cm、λ = 630nmとして計算しなおすと
w=0.12mとなりました。
ネットでいろいろ探してみたのですが、どうやら開口が1cmの場合は約10cm離したらいいみたいですね。計算結果と大体あっていますね。(λが同じと仮定した場合)
http://www.ee.t.u-tokyo.ac.jp/~zhe/_private/opti …

ただ、{(x0-u)^2+(y0-v)^2}^2/(8w^3 ) ~ D^4/(8w^3 ) のように近似していいものか悩むところでもあります。。

>手元の参考書によると、開口面(1辺がDの正方形)からの距離をzと
>したとき
>フレネル領域:z<D^2/λ
>フラウンホーファ領域:D^2/λ<z

フレネル近似はフラウンホーファー近似を厳密化したしたものですから、フランウンホーファ領域を含んいると思います。
御回答ありがとうございました。

お礼日時:2007/02/03 12:18

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Qフレネル回折とフラウンホーファー回折の違い

 フレネル回折とフラウンホーファー回折の違いは、開口からスクリーンまでの距離の違い以外にどのようなことがあるのでしょうか?初歩的な質問で申し訳ありません。最近光学について勉強し始めたもので・・
できましたら図を用いて詳しくご教授いただけたら幸いです。どなたかよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

フレネルキルヒホッフの回折式で、開口の大きさに対してスクリーンまでの距離が短いという近似をすればフレネル回折に、長いという近似をすればフランフォーファ回折の式が導出できます。

特段に物理的な意味の違いはありません。ただフランフォーファ回折の場合はその式がフーリエ変換式と同一になるという点、レンズを入れると結局無限遠の距離にスクリーンがあることと等価になるため、有用な概念であり、フーリエ回折光学という考え方の基礎となっています。

では。

Qレンズのフーリエ変換作用

レンズのフーリエ変換作用とは何かわかりやすく教えて下さい。
または、光学的な計算・解析でのフーリエ変換の意味を教えて下さい。
なお、私一応、数学のフーリエ変換をわかっているつもりです。
これをどうレンズに応用するのか、よくわからないのです。

Aベストアンサー

既にある程度の予備知識はお持ちのようなので、簡単に説明しますね。
詳しくは光学の割と基本的な本を参考にして下さい。

出発点はキルヒホッフの回折理論になります。
で、今光源があり、その先に開口がある場合、開口を通った像は上記理論の式で計算できます。
この像は要するに回折像になります。
さて、この像は、開口とスクリーンの距離によって、フレネル回折像(近いとき)、フランフォーファ回折像(遠いとき)と区別して計算します。
というのも、それによって近似の仕方が異なるためです。
さて、ここで、開口の後ろにレンズを入れてその焦点距離にスクリーンを置くと、レンズの働きにより丁度開口とスクリーンの距離を無限遠にしたときに相当します。
さて、こうやって立てたレンズによるこのフランフォーファ回折像の式を眺めると、丁度フーリエ変換式と同じ形になります。
(開口の関数をフーリエ変換した形になる)

これが基本となります。
おもしろいのはこの近似のなれの果てのような形で出てきたフーリエ変換による取り扱いが光学ではかなり本質的な意味をもちフーリエ光学として発展しました。
詳しい計算は省略しますが、開口による「フランフォーファ回折」の計算が載っていればその式を眺めてみることが出来ますよ。

既にある程度の予備知識はお持ちのようなので、簡単に説明しますね。
詳しくは光学の割と基本的な本を参考にして下さい。

出発点はキルヒホッフの回折理論になります。
で、今光源があり、その先に開口がある場合、開口を通った像は上記理論の式で計算できます。
この像は要するに回折像になります。
さて、この像は、開口とスクリーンの距離によって、フレネル回折像(近いとき)、フランフォーファ回折像(遠いとき)と区別して計算します。
というのも、それによって近似の仕方が異なるためです。
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Q複素振幅ってなんですか?

複素振幅と普通の振幅と何が違うのでしょうか。なにか、具体的な例はありますか?

Aベストアンサー

>電磁波の伝播に関するものなのですが、波を
A(x,t)=Re[A1expi(-wt+k・x)]と表わすと書いてあり、そしてA1は複素振幅だということしか書いてありませんでした。Reは実部をとる記号です。

電磁波の電場(磁場も同じ)をEとすると
 E=acos(k・x-ωt+θ)  (1)
と書かれます。これを複素表示するとオイラーの式(?)により
 E=Re[A1expi(k・x-ωt)] (2)
と書くことができます。ここで
 A1=aexp(iθ)  (3)
となり、これを複素振幅と呼んでいます。尤もexpi(k・x)の部分もA1に含める場合もあります。そのような場合はA1の表式がどうなるかはご自分で計算してみてください。
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 E=(1/2){Aexpi(k・x-ωt)+A*exp(-i(k・x-ωt))} (4)
と書けますね。(4)の右辺第2項を複素共役と呼んでいます。
さて、(2)の表式はいろいろ計算するのに指数関数の演算則が使えるので便利なんですね。例えばEの2乗(光の強度を求める場合なんかにでてくる)を計算するのに
|E|^2=EE*=A1expi(k・x-ωt)A1*exp{-i(k・x-ωt)}
   =AA*=|A|^2  (4)
と簡単に計算できるというわけです。
もっと具体的には参考URLに分かりやすく書かれていますので是非参照してみてください。

参考URL:http://www.nano.pe.u-tokyo.ac.jp/PPT-files/pr0521-28.ppt

>電磁波の伝播に関するものなのですが、波を
A(x,t)=Re[A1expi(-wt+k・x)]と表わすと書いてあり、そしてA1は複素振幅だということしか書いてありませんでした。Reは実部をとる記号です。

電磁波の電場(磁場も同じ)をEとすると
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と書かれます。これを複素表示するとオイラーの式(?)により
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Aベストアンサー

テイラー展開
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をしたとき、
第1項は1、第2項はnrとなり、第3項以降は、r^2 の項、r^3 の項、r^4 の項・・・・・になります。

rが1より非常に小さいので、第3項以上は非常に小さいものの2乗、3乗、4乗・・・・・の項になります。

係数がどうであれ、非常に小さいものの2乗、3乗、4乗・・・・・ですから、1乗の項に比べれば無視できるということです。
よって、第1項(1)と第2項(rの1乗の項)だけの近似が成り立ちます。

Qフレネル縞について

フレネル縞とは、どういうものなのか教えて下さい。

Aベストアンサー

motsuanさんの言われるとおりだと思います。基本的にある程度「広い」開口をもった場合の干渉縞を指しているものと想像します。(自信ない)

Fresnel氏は特に光の回折理論で多大な貢献をしたことで知られ、今日、彼の理論がなかりせば、携帯電話の普及も一寸遅れたかもしれません。「Fresnel-Kirchhoff回折理論」は回折現象を表わす強力な理論で、私も少なからず使った経験があります。

但し、これはあくまで近似です。原理的にはシンプルな「Huygensの原理」で、回折などの光学現象の殆どを説明することが出来ます。しかし、これは原理であって、そのまま計算しようとすると現代の最速マシンでもとてつもない計算時間を要するので、現代に至るも上のような近似理論が役に立つのです。

ピンホールや望遠鏡、カメラの最小絞りなど、光源->観測点と比べて相対的に小さな開口を持つ場合、更に簡便な「Franuhofer回折理論」が用いられます。これもまた近似理論です。Franuhofer回折縞の方が馴染みが深いかもしれません。

移動電話の建物を回り込む電波回折などは、「広い開口」とみなせますので、「Fresnel回折理論」のお世話になります。電磁波ではありませんが騒音なども同じです。

最近、ある光学メーカから「積層型回折光学素子」なる画期的発表がありました。
積層でないタイプは各社で、研究・実用化されていますが、これらはただの回折格子ではないはずです。「Fresnel輪帯」、「FresnelZonePlate」と呼ばれるものを応用したもので、輪帯の間隔を上手く取ってやると、凸レンズになるというすぐれものです。但し、分散(=波長による焦点距離の相違)が凄いので、これを逆手にとって利用すると、非常に優れた色消しレンズができるのです。

motsuanさんの言われるとおりだと思います。基本的にある程度「広い」開口をもった場合の干渉縞を指しているものと想像します。(自信ない)

Fresnel氏は特に光の回折理論で多大な貢献をしたことで知られ、今日、彼の理論がなかりせば、携帯電話の普及も一寸遅れたかもしれません。「Fresnel-Kirchhoff回折理論」は回折現象を表わす強力な理論で、私も少なからず使った経験があります。

但し、これはあくまで近似です。原理的にはシンプルな「Huygensの原理」で、回折などの光学現象の殆どを説明することが...続きを読む

Qパワースペクトルとは?

パワースペクトルについて説明してくださいと先生に言われました。
全くわからない人に説明するので端的にわかりやすく説明したいのですが誰かできる人はいませんか?ちなみにぼくも詳しいことは全然わかりません。
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Aベストアンサー

スペクトルとは、独立な成分それぞれについての強さをグラフにしたものです。
光の場合、光の種類を色で分類する事ができます。光といっても、その中に青はどれくらい、オレンジはどれくらいとそれぞれの色に応じて強さがあります。
光をそれぞれに分ける方法は、たとえばプリズムがあって、光をプリズムに通すといろいろな色にわかれてみえます。

ニュートンはプリズムを使った実験で有名です。一つ目のプリズムで光を分光し、赤と青の光を残して他の光を遮り、赤と青を二つ目のプリズムやレンズで一つにまとめました。その後でもう一度プリズムを通すと、いったんまとめたのにやはり赤と青しかでてこないのです。これから光の色の独立性(赤や青は、混ざらないものとして独立に扱って良い、ということ)がわかります。

このように色にはそれぞれを別々に扱ってもよいので、色ごとに物事を考えると分かりやすくなります。この色ごとについての強度を「光のスペクトル」、といいます。
強度はふつう「時間当たりに光りが運ぶエネルギー」(パワー)で表すので、この時は「パワースペクトル」です。

こんなふうに物事を自然な「成分(光の時は色)」にわけて考えた物がスペクトルです。詳しくは座標とフーリエ成分の関係について(フーリエ変換について)勉強するといいと思います(電磁場の実空間の振動とフーリエ空間上での振動の対応として)。

スペクトルとは、独立な成分それぞれについての強さをグラフにしたものです。
光の場合、光の種類を色で分類する事ができます。光といっても、その中に青はどれくらい、オレンジはどれくらいとそれぞれの色に応じて強さがあります。
光をそれぞれに分ける方法は、たとえばプリズムがあって、光をプリズムに通すといろいろな色にわかれてみえます。

ニュートンはプリズムを使った実験で有名です。一つ目のプリズムで光を分光し、赤と青の光を残して他の光を遮り、赤と青を二つ目のプリズムやレンズで一つにま...続きを読む

Q開口数 NAって どんな数字のことですか??

レンズとかで 開口数 NAっていう数字を聞きますが、
(1)どんな意味なんでしょうか?

(2)その数字が大きいとどうで、小さいとどうなんでしょう?

(3)たとえば、一般的なものでは、どのくらいの数字が常識で
どのくらいの数字だと 限界だとか、すごいレンズだってことになるんでしょうか?

------

光学関係の本をちょっと見れば載っているのかもしれませんが、
不精ですいません。ここで質問させてください。


_

Aベストアンサー

NAの定義は、
NA = n * sinθ
です。(nは光路の屈折率)
いまレンズがあって、その先に焦点があるとします。
レンズを通った光が焦点に結ぶことを考えますと、レンズのどの位置の光も焦点一つに集まります。
ここで、レンズの両端から出た光が焦点に集まるとき、円錐状に光が集まる図を書くことが出来ますよね。
(イメージできます?円錐の頂点が丁度焦点です)
このときの、円錐を横から見た時の頂角が2θになります。
つまり、θは0より大きく、90度よりは小さくないといけません。
従って、NAも普通は0<NA<1の間の数値となります。
簡単には、焦点距離がfで、レンズの半径がrとすると、tanθ=r/fですから、これからθを求めてsinθを求めれば良いわけです。

さて、この数値は色んな目的に使われます。
一つは明るさです。一つの点から出た光は通常四方八方に進みますが、NAが大きいと取り込む角度が大きいので明るくなります。
もう一つは焦点深度です。NAが大きいと焦点から像がずれたときに、大きくぼけます。
最後に、解像度です。これの説明はちょっとやっかいですが、基本的に光は絶えず広がろうとする性質(回折)があると思って下さい。
そのため、もし非常に小さく絞り込もうとすると大きな角度θで絞り込まないと、光の広がろうとする性質がレンズに打ち勝ってしまって、絞り込め無くなります。

これまでの話で大体おわかりと思いますが、NAが小さい方は特別すごいことではありません。NAが大きい方はすごいことです。
用途によってすごさは変わってきますが、顕微鏡だと0.7位は特別ではないでしょう。0.8以上だと高解像度になってきます。
中には1.0とか、1を越える場合もあり、これはすごいことです。
ちなみに、1を越えるためには、光路を屈折率1以上の物質(実際には水溶液)でレンズと被測定対象物を満たしてあげます。

別の用途として、高精度レンズといえば半導体の回路を焼き付けるステッパー用レンズでしょう。これはNA=0.65位が普通、NA=0.7, 0.75だと高解像度、中にはNA=0.8という超高解像度のものもあります。

では。

NAの定義は、
NA = n * sinθ
です。(nは光路の屈折率)
いまレンズがあって、その先に焦点があるとします。
レンズを通った光が焦点に結ぶことを考えますと、レンズのどの位置の光も焦点一つに集まります。
ここで、レンズの両端から出た光が焦点に集まるとき、円錐状に光が集まる図を書くことが出来ますよね。
(イメージできます?円錐の頂点が丁度焦点です)
このときの、円錐を横から見た時の頂角が2θになります。
つまり、θは0より大きく、90度よりは小さくないといけません。
従って、NAも普通...続きを読む


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