同じバネ定数ｋのバネ２本を使った単振動について

質問タイトルのバネを直列、並列につなぎ、質量ｍの物体を上下に振動させる時、その振動数はバネ１本の時と比べてどうなるか？１本の時の振動数は１秒間にｎ回である。

という問題で、直列の場合は　１／√２・ｎ　となるのは理解できました。

並列の場合、√２・ｎ　となるそうなのですが、その説明がよく分かりません。　１本の場合と同じくｎとなると思うのですが・・・

どなたか分かりやすく説明してもらえませんか？

No.1 回答者： otoutann 回答日時： 2007/02/09 19:01

直列の場合バネ定数が1/2k

並列の場合バネ定数が2k
になると考えるのが普通です。

No.2 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/02/09 19:07

まず、ばねを２つ並列にしたら、ばねは「強く」なる。

ばね定数ｋは、ばねの強さを表す数字でｋが大きいほど強いばね。

これを確認してください。

周期Ｔ＝２π√（ｍ／ｋ）

ばねが強く（硬く）、おもりが小さいほど、忙しく振動、

ばねが弱く、おもりが大きいほど　ゆったり振動　　


ということです。

さて、　２つのばねが並行

｜～～～～～～｜
｜　　　　　　　　　　｜－－●
｜～～～～～～｜

こうですから、１つのばねにはおもりの半分の力（重さ）しかかからないのではないですか。

２人で１つのおもりを引っ張っているようなものです。

１つのばねのばね定数をｋ、おもり１つの質量をｍ
とします。

すると、上の図は

ばね定数ｋのばねに１／２ｍのおもり、

あるいは、ばね定数２ｋのばねにｍのおもり　です。

Ｔ＝２π√（１／２ｍ）／ｋ

＝（１／√２）×（２π√ｍ／ｋ）

周期ははじめの１／√２倍。　ですから　ｎは√２倍。

それだけ「せわしなく」振動します。

細かい計算は別にして、

はじめのものに比べて　いそがしく（せわしなく）動くか

のんびり振動するか、をまずイメージできるようにしてください。

それさえできたら、答えは「自然に」√２倍　か√１／２倍のどちらかが区別できます。

この回答へのお礼

僕もイメージではなんとなく分かるのですが、理屈を考えて、数式をノートに書いていると途中であれ？となるんですよ。
質問を箇条書きで述べます。
１　ｋはそのバネに固有なのではないですか？
２　単振動するのは、錘であって、バネではないですよね。
３　僕が直列が理解できると言うのは以下の通りです。
　　鉛直で釣り合っているとき、バネが１個の時は　ｍｇ－ｋｓ＝０
　∴ｍｇ＝ｋｓ・・・(1)　ｓ：錘と釣り合っている時のばねの伸び　　
　またバネをｘだけ引っ張ると錘に働く外力は　Ｆ＝ｍｇ－ｋ（ｓ＋ｘ）＝－ｋｘ　∴単振動する。　この時、バネを鉛直直列に２個つなげば、伸びが２倍になるので　ｍｇ－ｋ・２ｓ＝０
　∴ｍｇ＝２ｋｓ・・・(2)
またｘだけ引っ張れば　Ｆ＝ｍｇ－ｋ（２ｓ＋ｘ）＝－ｋｘ　∴単振動する。この時、ばね１個の時は、(1)より　ｋ＝ｍｇ／ｓ　(2)よりｋ＝ｍｇ／２ｓ　∴ｋはばね１個の時に比べ、鉛直に直列２個並べると１／２になっている。よって振動数νの公式に当てはめれば１／√２ｎとなる。つまり、のんびり振動となると思います。そういうイメージ湧きます。

また並列の場合も、イメージでは忙しく振動するとは思います。

しかし、質問３で述べたような手順を踏んで理詰めで行けば、質問２と重なりますが、・・・先生（あえて先生と呼ばせて下さい）の回答の中に

＞１つのばねにはおもりの半分の力（重さ）しかかからないのではないですか。

とあります。しかし錘には、並列なので２個のバネから外力が加わるのではないでしょうか？・・・錘に働く外力は
　ｍｇ－ｋ・１／２・ｓ－１／２・ｓ＝ｍｇ－ｋｓ＝０
となりませんか？つまり、ばね１個の時と釣り合いの式は等しくなりませんか？（並列なのでバネの伸びが１／２となる、が前提条件です。）

よって、並列の場合は、バネ１個の時と震動数が等しくなる。
となってしまいます。

どこがおかしいのでしょう？

お礼日時：2007/02/09 22:44

No.3 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/02/10 01:29

＜＜ｍｇ－ｋ・１／２・ｓ－１／２・ｓ＝ｍｇ－ｋｓ＝０＞＞

あなたのこの式は、ばねを並列に並べたら「ばねが１／２ｓのびたとき錘にはたらく力は釣り合っているよ」ということを表している式です。運動方程式と考えない方がよいかも知れない。

一方、ばねが１つの場合は

ｍｇ－ｋｓ＝０　となります。

この式は、ばねが１つのときは「ばねがｓ伸びたとき錘にはたらく力は釣り合っていますよ」ということを表した式です。

＜＜ばね１個の時と釣り合いの式は等しくなりませんか？＞＞　

たしかにそのとおりです。同じ式ですが、言っている内容はちがってます。

さて

今、錘が釣り合っているところの位置を基準の位置とします（これはばねの自然長からｍｇ／２ｋ下の位置です　あなたのいうところの１／２ｓのところです）。ここが振動の中心になるだろうなと予想できますね。十分時間がたったら錘はここに落ち着く、つまりここが落ち着き先、振動の中心です。

おもりがその位置からｘ（あなたのｓと混同しないようにｘとさせてもらいます）下がっているときの、おもりに関するする運動方程式を考えてみてください。

おもりにはたらく力は

ｍｇ－（ｋ（ｘ＋ｍｇ／２ｋ）＋ｋ（ｘ＋ｍｇ／２ｋ））ですね。

ｋ（ｘ＋ｍｇ／２ｋ）はばねの自然長からの伸びです

したがって運動方程式は

Ｆ＝ｍｇ－（ｋ（ｘ＋ｍｇ／２ｋ）＋ｋ（ｘ＋ｍｇ／２ｋ））

ここでｍｇ＝ｋｘ　ですから、

結局Ｆ＝－２ｋｘ

となります。

これから周期Ｔ＝２π√ｍ／２ｋ

がでてきます。

すみません　返事が遅くなって。

今日はこれでおしまい。

この回答への補足

さらに先生に追加でお願いがあります。
１　またまた問題集の問題を解いてまして、解くには解いたのですが、想像力を働かせていると、疑問に思う事が出てきました。問題は仕事率を求める物ですが、疑問は自動車の推進力に関する事です。この後、物理のコーナーに表題『自動車の推進力に関すること』で質問するつもりですので回答を頂ければありがたいです。
２　これは、ネチケットに反するのであれば無視して下さい。そうでなければ、先生のコメントを聞きたいのです。
以前、教えてｇooの物理コーナーに以下の質問がありました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2697187.html
僕も疑問に思います。
是非先生のコメントを聞かせてください。

補足日時：2007/02/24 17:54

この回答へのお礼

お礼遅くなり申し訳ありません。パソコンの前に座れませんでした。

迂闊でした。自分で答言っているような物なのに気付かないとは・・・
基本中の基本でした。
念のため、述べますので確認の程お願いします。

釣り合いの式は、あれで良かったんです。バネ１個でも、並列でも一緒なんです。ｍｇ－ｋｓ＝０・・・(1)
（さらに言うと、直列でも同じ・・・後で述べます。）
任意の点ｘにおける運動式は、
ｍa＝Ｆ＝ｍｇ－ｋ（ｓ／２＋ｘ）－ｋ（ｓ／２＋ｘ）
(1)より
＝－２ｋｘ　　となり、振動数はバネ１個の時の√２倍になります。

ついでに直列の場合ですが、前回、僕が示した理解は、間違っているとも言い切れないと思いますが、前回の僕の説明では、適切でなかったと思います。

前回、直列の釣り合いを　ｍｇ－ｋ・２ｓ＝０　なら理解できるとして、
この釣り合いの式を、バネ１個の時の釣り合い　ｍｇ－ｋｓ＝０　と比較して答を求めていました。しかし、あくまでも錘に注目して、式を立てるのであれば、直列の時も釣り合いは　ｍｇ－ｋｓ＝０　になるんですよね。ここがポイントでした。なぜなら、あくまでも錘に直接作用する力は、直列につないでいても、バネ１個しか関わらないので（作用反作用の法則）１個分の伸びｓだけなんですよね。同様の考えで、運動方程式にしても、任意の点ｘはｘ／２になるんですよね。よって
ｍa＝Ｆ＝ｍｇ－ｋ（ｓ＋ｘ／２）＝－ｋｘ／２　　となります。

上で述べた間違っているとも言い切れないというのは、バネ全体の系で見たら、前回述べたような釣合いの式　ｍｇ－ｋ・２ｓ＝０　から求めても良いのだと思います。同様に、並列の場合も（なんで前回気付かなかったのだろう？と思います。）釣り合いは、全体の系で見ると
ｍｇ－ｋｓ＝０　ではなく　ｍｇ－ｋ・ｓ／２＝０　となります。

この考え方でよろしいでしょうか？

お礼日時：2007/02/24 17:37

No.4 回答者： larme001 回答日時： 2007/02/10 01:35

横からですが、失礼します。

まず、重力の有無と単振動の振動数は全く無関係のもの、ということ混乱しているようです。
1.ばね定数は確かにばね固有の値ですが、２つの平行なバネを一つのものと見たら当然バネ定数はそれ特有のもとなり、一つのものの場合とは異なります。（実際にはK`=2K)
>2
>とあります。しかし錘には、並列なので２個のバネから外力が加わるのではないでしょうか？・・・錘に働く外力は
　ｍｇ－ｋ・１／２・ｓ－１／２・ｓ＝ｍｇ－ｋｓ＝０
となりませんか？つまり、ばね１個の時と釣り合いの式は等しくなりませんか？（並列なのでバネの伸びが１／２となる、が前提条件です。）
については一緒に説明します。

まず、バネについた錘が単振動をする時、なぜ単振動をするのかというと、それは単に運動方程式を解いた場合に一定方向の力、すなわち加速度が生じるからです。仮に、鉛がついていようがついてなかろうが、「つりあいの位置で静止している状態」であれば、それには単振動など生じるはずはありません。単振動が起こるのは、つりあいの位置からx離れた位置に移動したため、つりあいの位置へ戻ろうとするちからが運動方程式より生じ、それがつりあいの位置に対称に生じ続けるからです。
並列に２つのバネ定数Kのバネをおくとき、x軸を上にとると
F=Kx-mg...(1)
が生じます。ここで、xは変数です。これを変形して
ma=Kx-mg
a=-K(x+mg/k)
となりますが、これはX=x+mg/K としたときのa=-KXに等しく、単振動の運動をすることが分かります。ただ、つりあいの位置、すなわちa=0のところはX=xo+mg/K=0, よってxo=-mg/k の位置になるでしょう。

これは周波数　f=1/2π√(K/m)...(2)となります。

一方、それぞれ小さいkのバネに力がかかったと考えると、(1)は
F=kx+kx-mg=2kx-mg=-2k(x+mg/2k)
となり(1)のK=2kとした場合と同じであることが分かります。よって
(2)は、f´=1/2π√(2k/m)で、√2倍になります。

このとき、つりあいの位置はF=2kxo'-mg=0, xo'=-mg/2k より、
xo'=1/2xoであり、確かに半分になっています。しかし、これが周波数に影響を及ぼすわけではありません。質問者さんのsが半分になるというのは、この事実をのべているのです。

物体の運動は、すべて運動方程式から考えられます。この場合は、重力がかかっているので分かりにくくしますが、それは単に重力がかかる分だけバネが伸び、その位置をつりあいの位置とみなしF=-kxとできるということを述べているに過ぎません。バネが単振動をするのは、あくまでバネがつりあいの位置からどれだけずれているかによるもので、定数項は周期、周波数等には影響しません。

No.5 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/02/10 01:37

あなたのお礼の前半の方、

１　ｋはそのバネに固有なのではないですか？

そうです。


～～～～　　～～～～　　 →　合わせて１／２ｋ
　ｋ　　　　　　ｋ


｜～～～～｜ｋ
　　　　　　　　　　合わせて２ｋ
｜～～～～｜ｋ


２　単振動するのは、錘であって、バネではないですよね。

そうかんがえていいでしょうねえ・・・・

錘にＦ＝－ｋｘの力がはたらいて振動するのですから・・・・・

No.6 回答者： yu-fo 回答日時： 2007/02/12 18:52

振動数は f＝{1/(２π)}√(k/m) が公式であることを前提として考えた場合

　二つのばねを合成した（見かけの）バネ定数を求める
とういうことで、比較検討ができると思われます。

もちろん、fは振動数、kはバネ定数、mは質量とします。
また、力とバネ定数の関係は　F=kx から求まることも暗黙の了解(^^;
ちなみに、バネ定数の定義は単位長さ（例えば1cm）変形させるのに必要な力であることを思い出してください（老婆心ながら）。

ばね一本の場合
バネ定数：F=kxの関係から　k=F/x=F/1cm=F

ばね二本が直列の場合
ばね全体を1cm変位させるためには、それぞれのばねを0.5cmづつ変位させればよい。
したがって、それぞれのばねに働く力(F1)は
　F1=ko×0.5cm=(1/2)ko
錘に働く力(F)と直列のバネに働く力(F1)とが等しいことから、直列の場合の見かけのバネ定数をK1とすると
　K1=F/x=F=F1=(1/2)ko
振動数の公式より
　f1={1/(２π)}√(K1/m)=f×√(1/2)

ばね二本が並列の場合
ばね全体を1cm変位させるためには、それぞれのばねを1cmづつ変位させればよい。
したがって、それぞれのばねに働く力(F2)は
　F2=ko×1cm=ko
錘に働く力(F)と並列のバネに働く力(F2)の二本分の力(2F2)とが等しいことから、並列の場合の見かけのバネ定数をK2とすると
　K2=F/x=F=2F2=2ko
振動数の公式より
　f1={1/(２π)}√(K2/m)=f×√(2)

途中で話を飛躍させている感はありますが、それぞれの場合の変形の考え方、力の釣り合いの考え方がポイントになると思われます。
とくに、並列の場合の力のつりあい、錘に働く力(F)＝ばね二本分の力(2F2)である、というところかと．．．(^o^)丿