組み合わせの問題(SPI2)

SPI対策をやっていて、次のような問題があったのですが、回答が納得できません。

ピーチ,メロン,リンゴがそれぞれ沢山用意された。
これらの果物を使って14個入りの果物の詰め合わせを作る。
この詰め合わせは全部で何通りできるか？
ただし、１つも入らない種類があっても良いものとする。

解)　(14+2)Ｃ2=(16×15)/(2×1)=120通り

普通に自分で解いた時は、3^14=4782968通りだと思ったのですが・・・
解答の意味の説明をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： metis 回答日時： 2007/03/08 00:42

3^14の場合、

ピーチ->メロン->…->メロン->メロン　と、
メロン->メロン->…->メロン->ピーチ　は、違うものとして認識されますよね。
ですが、実際には、メロン１３個・ピーチ１個という同じ組み合わせのため、この問題では同じものとして認識されます。

では、(14+2)Ｃ2となる理由ですが…
この14は、当然「14個入り」の14です。
で、+2は「仕切り」になります。
つまり、何れかの果物（例えば○）及び仕切り（例えば｜）を、両方とも混ぜて、適当な順番で並べた時、
一つ目の仕切りの左側はピーチ、そこから２つ目の仕切りはメロン、それ以降はリンゴ、と解釈するのです。

例えば、並べ替えた結果が、
○○○｜○○○○○○｜○○○○○
だったとします。
この場合、ピーチが３個、メロンが６個、リンゴが５個の計１４個、となるわけですね。

他にも、
||○（14個）
だと、リンゴ14個（他なし）となります。

そして最後にＣ2．
この問題では、○（果物）か｜（仕切り）が置ける箇所の合計は、当然○と｜の和、16です。
このうち、「どこに２つの｜を置くか」に着目した時、これは単純に組み合わせの定義になりますよね。
ですから、(14[果物の数]+2[仕切りの数])Ｃ2[どこに仕切りを置く？]という計算式になります。

こうすれば、最初に述べた「メロン13個、ピーチ1個」は、一通りに定まります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
分かりやすかったです。

お礼日時：2007/03/08 00:50

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/03/08 00:42

14個だと数が多いので説明しにくいけど例えば 3個入りの詰め合わせを考えたときに 3^3 = 27通りだと、(ピーチ)(ピーチ)(リンゴ) と(リンゴ)(ピーチ)(ピーチ) をダブルカウントしていることがわかるでしょう。

解答の意味は、組み合わせの数が上の例で言うところの () と区切り | の組み合わせ
() () | | ()
に応じて、() の中に左からピーチ、メロン、リンゴを当て嵌める数と等しいという意味でしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ダブルカウントは無しなんですね、この問題の場合。
詰め合わせって入れる方向決まってるからダブルカウントしてもいいと思ってました。
ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/08 00:52