lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明、sinｘの定義

高校の教科書では、
0<ｘ<π/2のとき，面積を考えて、
(sinｘ)/2<ｘ/2<(tanｘ)/2
2をかけて、辺々の逆数を取ると，
cotｘ<1/ｘ<cosecｘ
辺々にsinｘをかけると，
cosｘ<sinｘ/ｘ<1
lim[ｘ→0]cosｘ=1
挟み撃ちの原理より，lim[ｘ→0]sinｘ/ｘ=1
と書かれています。
これを出発点として、(sinx)'=cosxが分かり、三角関数の微積分が構築されます。

しかし、面積は厳密には、積分で定義され、微積分学の基本定理から、微分の逆演算として計算されます。
すると、面積を用いて、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明するのは循環論法。

lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明を、sinxの定義とともに教えてください。

No.5 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2007/04/02 03:32

連続関数の（広義）積分、単調関数の逆関数、それらの微分（微積分学基本定理）から出発すれば厳密にしかも大変見通し良く議論展開することができます。

個人的な話ですが昔三角関数の定義などの欠点を色々考えてるうちにこの純解析的方法で定義したらすべてうまくいったのでこれが最良かつ明確だと思ってます。すなわちまずarctanを1/(1+x^2)の[0,t]上での積分として定義しtanをその逆関数として定義します（対数関数、指数関数と同じですね）。次にπ/2を[0,∞]上の積分値として定義します（収束は明らか）。cosはtanとの関係式（これは幾何学的考察によるものですが解析的には単に別の関数を定義したという感じですね）から定義されさらにsinもcosから定義されます。符号、積分、逆関数など多少面倒な手続きですが厳密性を求める上ではしょうがないです。このsinを実際に自分で書き下してみれば分かりますが、求める極限はロピタルを使うだけで大丈夫です。変数変換や逆関数の微分や合成関数の微分など初等的手続きだけですぐ得られますので試してみてください。

この回答への補足

ありがとうございます。
解析概論では、有理関数の積分から三角関数を導く立場に固執するなら、
∫[0,x]1/(1+x^2)dx
から出発するのが自然であるが、その過程は単純でない。
もし、三角関数が知られていなければ、円弧の計算上、自然に
∫[0,x](1-x^2)^(-1/2)dx
に遭遇するだろう。

と書かれていました。

補足日時：2007/04/04 17:54

この回答へのお礼

ありがとうございます。
そもそもsinxの定義をどうするかですね。

１.複素関数exp(z)=Σ_{n=1}^{∞}z^n/n!とし、sin(z)=(exp(iz)-exp(-iz))/(2i)と考える。

２．logx=∫[1,x]1/xで定義し、逆関数で、exp(x)を定義し、解析接続で複素関数にし、sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)と考える。

３．∫[0,x](1-x^2)^(-1/2)dxの逆関数が、sinx。

４． sin(x) = x/1! + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! +...で定義。

５．f''(x)=-f(x),f(0)=0で定義。

どれも一長一短がありそうですね。
本質的に違う他の定義の可能性はあるのかなあ。

sinxで、xは単位円の弧長（角度）を表していると考えて、幾何学を展開するのであれば、３がよさそうな気がします。

お礼日時：2007/04/02 13:39

No.4 回答者： N64 回答日時： 2007/04/01 22:56

面積を考えて、というのは、積分を考える必要はないと思います。

直角三角形の面積や扇型の面積を比較するだけで、十分です。
これらの面積は、積分を使う必要は全くないと思います。

この回答へのお礼

確かに、面積概念をすべての出発とする立場もありえそうです。

たとえば、
単位円の扇形の面積の２倍をθとしたり、
単位円の扇形の頂点と底辺{0≦x≦1}とでできる三角形の面積の２倍をsinθとでもすると、包含関係からsinθ≦θが分かりそうです。
同様に、θ≦tanθも分かり、
lim sinθ/θ =1 を面積を使っての証明もありえるかもしれません。

でも、そうするとsin^2θ+cos^2θ=1は面積で解釈すると、不明確です。

「面積」での定義はあまりメリットがないと思うのですが。

がんばって、「面積の概念」→「距離の概念」の対応を考えようとしましたが、無理っぽく思っています。

お礼日時：2007/04/05 10:23

No.3 回答者： jamf0421 回答日時： 2007/04/01 17:48

tanx>x>sinx(0<x<π/2)の初等幾何学を使う厳密な証明は、探せば他でも出てくるでしょうが、たとえば一松信 「解析学序説」（裳華房）の第I章 微分法の中の三角函数の微分の中にかいてあります。

（定理１．７）循環論法にはなっていないと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
tanx>x>sinx(0<x<π/2)の初等幾何学を使う厳密な証明とは、まだよくわかりませんが、問題の核心はsinxの定義をどうするかですが、
厳密にするためには、幾何の概念を一端離れて、解析的に積分などで定義するのが主流だと思います。

sinxの定義をどうするかですが、幾何的に、なにか公理っぽいものをもうけて、理論展開できるかなとも思いましたが（たとえば面積の概念を使って）、そうとう無理があるように感じています。

お礼日時：2007/04/05 10:18

No.2 回答者： mis_take 回答日時： 2007/04/01 16:40

三角関数の独立変数θの単位を弧度（ラジアン）と言い，単位円の扇形の弧の長さと言っていますが，それは高校生など初学者にわかりやすいように言ったもので，実際は単位円の扇形の面積の２倍をθとします。

そうすると，360゜＝2π となります。
ただし，このπは円周率（演習÷直径）ではなくて円積率（面積÷半径^2）（あるいは単位円の面積）です。
このこと（θの単位の定義）に積分は使われていません（円の面積が半径^2に比例することだけでいいのです）。
lim sinθ/θ =1 は仰るとおり面積を使って示されます（弧の長さでは示すことはできません）。
積分を用いて円の面積が πr^2 になるのは，当然のことが確認できたというだけのことです。
円周が２πｒになることが積分で定義されるのです。
ここで初めて円積率のπが円周率と一致することがわかります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

普通、x軸やy軸には座標が与えられていて、線分長はその差で表し、
面積や弧長は、極限で表し、結局それは積分で表される。という手順と思います。

「面積」をすべての出発とするということは、面積に座標が与えられていると思ったとします。単位円の扇形の面積の２倍をθとするのもいいと思います。でも、そのときの、sinθがなにを意味するのか不明確です。
仮にそれを、単位円の扇形の頂点と底辺{0≦x≦1}との面積の２倍とでも定義したとしましょう。
すると、sinθ≦θが分かりそうです。同様に、θ≦tanθも分かり、
lim sinθ/θ =1 を面積を使っての証明もありえるかもしれません。

でも、そうするとsin^2θ+cos^2θ=1は面積で解釈すると、不明確です。

「面積」での定義はあまりメリットがないと思うのですが。

がんばって、「面積の概念」→「距離の概念」の対応を考えようとしましたが、無理っぽく思っています。

お礼日時：2007/04/05 10:11

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/04/01 15:14

面積ではなく、円周を考えることで極限を求めることができます。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/ci …

この議論を見ると、数学的に厳密に議論を進めることが実はかなり困難(面倒)な作業であることがわかって興味深いですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。以下引用です。

円弧上で長さがxのところまでの角をxラジアンと定義するわけだが、その前に円弧に長さが定義されていなければならない。円弧の長さは折れ線の長さの上限で定義する。xラジアンになるべき位置の円弧の長さがxになるということは、その円弧の折れ線近似の上限がxになるということで、それを証明することは円周の長さが内接多角形の周の上限になることの証明と同値、そしてそれはlim[x→0]sinx/x=1と同内容。アララ

お礼日時：2007/04/02 11:36