整数の問題（高１）

次の問題がわかりません。ご教授ください。明日提出なので、かなりせっぱつまっています汗

(1)各位の数の和が９の倍数であるような整数は、９の倍数である。このことを、４桁の整数の場合について証明せよ。

(2)nは整数とする。n(5n^2+6n+1)は６の倍数であることを証明せよ。

(3)連続した３つの奇数の平方の和に１を加えた数は、12の倍数であるが、24の倍数でないことを証明せよ。

No.4 ベストアンサー 回答者： Alicelove 回答日時： 2002/06/17 00:38

まずは（１）だけ・・・

４桁の整数を、a・10^3＋b・10^2＋c・10＋dとします。・・・（あ）
また、a＋b＋c＋d＝9N（各位の数の和が９の倍数であるから）・・・（い）
（い）を変形します。
e＝9Nーaーbーc　・・・(う）
（う）を（あ）に代入すると、
a(10^3-1)＋b(10^2-1)＋c(10-1)＋9N＝999a＋99b＋9c＋9N
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝9(111a＋11b＋c＋N) ・・・（え）
（え）は９の倍数となる。//

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2002/07/02 16:09

No.5 回答者： Alicelove 回答日時： 2002/06/17 00:52

続いて（３）・・・

連続した整数を、2n-1、2n＋1、2n＋3とおく。
(2n-1)^2＋(2n＋1)^2＋(2n＋3)^2＋1
　　＝4n^2＋4n＋1＋4n^2＋4n＋1＋4n^2＋12n＋9＋1
　　＝12n^2＋12n＋12
　　＝12(n^2＋n＋1)
　　＝12｛n(n＋1)＋1｝・・・（あ）
ここで、n(n＋1)は隣り合った整数の積となるので偶数
よって、n(n＋1)＋1は、奇数となる。
ゆえに、（あ）は１２の倍数であるが、奇数との積により、２４の倍数ではない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2002/06/18 14:21

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/06/17 00:32

No.2訂正

(2)は
n(5n^2+6n+1)=5(n^3-n)+6n^2+6n=...
でした.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2002/06/18 14:20

No.2 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/06/17 00:29

ヒント

(2)n(5n^2+6n+1)=5(n^3-1)+6n^2+6n=5(n-1)n(n+1)+6n(n+1)
3連続整数は6で割り切れる(できれば証明を)ので...

(3)連続した３つの奇数を2n-1, 2n+1, 2n+3(計算が楽なようにです)とおいて平方の和+1をつくると
12{n(n+1)+1}となって,n(n+1)+1 は偶数+1より奇数なので...

この回答へのお礼

早急のご回答、ありがとうございます。

お礼日時：2002/06/18 14:20

No.1 回答者： westpoint 回答日時： 2002/06/17 00:20

(1)です。

a+b+c+d=9n

1000a+100b+10c+d=9(111a+11b+c)+9n

よって9の倍数です。

この回答への補足

(3)番が特にわかりません。

補足日時：2002/06/17 00:27

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2002/06/17 00:28