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線形空間Vの部分空間W1、W2について、(W1又はW2)はW1+W2の真部分集合であることを示せ。

という問題がわかりません、どなたか教えてくださいお願いします。

質問者からの補足コメント

  • W1∪W2⊂W1+W2を証明せよという問題です。

      補足日時:2017/11/12 13:32

A 回答 (5件)

Wikipedia の説明は今どきの教科書と反する説明をしてるから、そのせいですかね~。



この前調べたと時は、⊂ を真部分集合とする教科書は死滅してました。
誰か Wikipedia 直さんのかな。

真部分集合はここで書くなら
W1∪W2⊂W1+W2 かつ W1∪W2≠W1+W2
でしょうね。で、A⊂B かつ A≠B の証明は簡単で

A⊂B a∈A ならば a∈B
A≠B a∈B で a∉A となる a が存在する(つまり反例が一つあればよい)。

a∈W1∪W2 ってことは a∈W1 又はa∈W2 ってこと。
もし、 a∈W1 なら、a = a + 0(ゼロベクトル) だから a ∈ W1 + W2
同様にa∈W2 なら、a = a + 0(ゼロベクトル) だから a ∈ W1 + W2

b ∈ W1+w2 の場合、例えば W1={(1,2)}, W2={(3,4)} ({}の中は基底)
とすると、(4, 6) ∈ W1+w2 だが(4, 6) ∉W1∪W2 なので反例成立。
但し、基底が一致している場合はこの限りでない

従って

W1∪W2 は W1 + W2 の真部分集合 の場合もある。W1, W2 の定義次第。

が正解でしょう。きっと元の問題はもっと条件が付いていたはず。
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この回答へのお礼

詳しくありがとうございました!
わかりやすかったのでベストアンサーにします!!

お礼日時:2017/11/12 20:11

No1 です。

私として、かなり誤解を招く回答をしてしまいました。
 改めて訂正します。
 (W1∪W2)⊃W1+W2 というニュアスでしょうか?
 これなら 任意の元xをW1+w2からとるとX=a+bとなるa,bが W1∋a,W2∋bから選べる。よってxはW1∪W2の元になるといえる。
 
と回答したわけです。 ごめんなさい。
  なお 上記記載はF1+F2が線形部分空間であることを証明していませんからまだ証明ではありません。
 しかし 証明において、前提条件があいまいだから、全く証明になりません。
 "+"と"部分空間W1、W2"について,をご確認ください。失礼しました。
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この回答へのお礼

詳しくありがとうございます!
参考にしながら改めて自分で解いてみます!!

お礼日時:2017/11/12 15:15

>W1∪W2⊂W1+W2を証明せよという問題です。


本当にこういう問題なら, 真部分集合ではなく, 部分集合と書くべきですよね.
どちらが正しいのですか.
ここ, すごく重要ですよ.
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この回答へのお礼

部分集合でしたか。記号が打てず深く考えすぎてました!
ありがとうございます!

お礼日時:2017/11/12 15:13

>という問題がわかりません、


分からなくて当然.
線型空間をまともに学んだ経験のある者なら, 一目で偽と見抜ける命題.
反例を探してください.
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この回答へのお礼

わかりました。参考にします!返答ありがとうございました!

お礼日時:2017/11/12 13:28

あなたが (W1又はW2)とW1+W2と用いてる”又は"と"+"はそれぞれ 集合記号∪、と和空間の記号+と理解していいですか?


 また真部分集合という言葉も、空間の話ですから(大した問題ではないながら)気になります。
 あなたの質問とかなり違いますが
   (W1∪W2)⊃≠W1+W2 というニュアスでしょうか?
 これなら 任意のa,bを W1∋a,W2∋bから選んでa+bがW1∪W2の要素になることを言えばいいのではないでしょうか。
 以上W1∋Φ,W2∋Φであることが,"W1、W2が線形部分空間"であることで保障されていればの話です。
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この回答へのお礼

記号で表すとW1∪W2⊂W1+W2です。記号の打ち方がわからなくてわかりにくい表現になってました。すみません。
もしお時間あれば解答お願いします。

お礼日時:2017/11/12 13:27

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