有理数と無理数が無限個あること

開区間（a,b）
は無限個の有理数と無限個の無理数を含むことを証明せよ。

という問題に悩んでいます。有理数の稠密性と有理数と無理数の和が無理数になることを利用するのがヒントらしいのですが、それでもよく分かりません。どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら、解説よろしくお願いします。

No.12 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/05/02 00:58

黙って「有理数の稠密性」と言えば、

普通は、順序稠密性のほうを指すと思うのですが…
無論、この問題では、有理数の実数における稠密性
（位相の意味での稠密性）のほうが肝心です。

有理数の順序稠密性を示すのは簡単で、
有理数 p, q に対して、p < q ならば p < (p + q) / 2 < q
というだけで済みます。これを使って、
両端が有理数であるような実数の開区間 (p,q) の中に
有理数が無限に含まれることを、
#8 補足の方法で示すこともできます。

後は、実数の任意の開区間 (a. b) の中に
両端が有理数であるような開区間 (p,q) が含まれる
ことを示せば完了ですが、それには、
有理数の実数における稠密性を
#5 補足のようにして示せばよい。

とはいえ、この方法は冗長です。
質問者さん自身の証明のほうが、ずっとよい。
#10 補足を見ると、#8 補足の時点で
有理数のほうの証明は完成しているように思われます。
あっているようですよ。

無理数のほうの証明も、それで ok でしょう。
文章を、少し整えたほうがよいけれど。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

無理数のほうは少し雑に書きすぎたかもしれません。
自分で適宜文章をなおします。

＞有理数のほうの証明は完成しているように思われます。
そうですか。有理数はあの方法でokですか。
わざわざありがとうございました。

補足日時：2008/05/02 01:10

No.11 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/02 00:23

>最後の一文がすこし不安ですが・・・。

であれば、「同様の証明」の内容をもう少し明確化すればよいでしょう。

あえて文句をつけるとすれば、
「任意の無理数Ｍに対してＭ + ｛－ｒ（ｎ－１）｝が有理数となる」
はこの世に無理数がまったく存在しなくても成立するので、
わざわざＭなどをもってこなくても適当に√2とかにしておけば良いでしょう。

No.10 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/01 23:22

>えっと・・・証明は完了したんでしょうか？

> 自覚がないです。あってるんでしょうか？

あってるのか分かんないのであれば、完了してないんだよ。
無理数が無限にある件も手つかずだしね。

ちなみに私はずっと位相空間の意味の稠密性だと思ってました。
順序集合 (Q, <) の稠密性をヒントとするにしても、
a, b が無理数の場合に Q と無理数 a との関係を何らかの形で検討する必要がありますよね。

この回答への補足

あってると思っていても間違っていることに気付かないでわかったつもりになることがありますよね。
それはいやだったので一応自分の考えを述べたうえで、参考意見を聞きたいと思ってここに投稿しています。

koko_u_さんの仰るとおり、自覚がないならできたとは到底言えませんね。自分の考えに確信を持つには、自分ひとりでは思い違いのことがあるので。。。無理数の場合は以下のように考えました。

実数の任意の開区間としてａ＜Ｘ＜ｂとしＸはすべて有理数と
仮定する。ａ＜ｐ＜ｑ＜ｂ　となる有理数ｐ、ｑ が存在する。
よってｒ＝ｑ－ｐ　も有理数である。任意の無理数Ｍに対して
ｎ－１≦（Ｍ－ｐ）/ｒ＜ｎ　となる整数 ｎ が存在する。このとき
ｐ≦Ｍ－ｒ（ｎ－１）＜ｐ＋ｒ＝ｑ　より、
Ｍ＋｛－ｒ（ｎ－１）｝が有理数となりＭが無理数であることに矛盾する。よって任意の開区間（a,b）は無理数を含むことが言えて、このＭをあらたに開区間の端としてとって同様の証明ができるから無理数は無限個存在する。

最後の一文がすこし不安ですが・・・。
よろしくお願いします。

補足日時：2008/05/01 23:43

No.9 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/05/01 22:48

証明が完了したところで、横から失礼。

話を #1, #3 の補足要求「有理数の稠密性とは何か？」に戻すのですが、
「稠密性」という言葉には、二つの異なる意味があります。
一つは、位相空間 T とその部分集合 S に関して
「S は、T において稠密である。」という場合の「稠密性」。
もう一つは、順序集合 S に関して
「S は、稠密である。」という場合の「稠密性」。
両方とも「稠密性」と呼んでしまいますが、異なる概念です。

普通、説明なしに「有理数の稠密性」と言えば、
後者の意味の稠密性を指すものだと思います。
#5, #6 への補足に登場しているのは、有理数の実数における稠密性、
前者の意味での稠密性です。

#1 さんが確認したかったのは、この辺を理解しているかどうか
だったのではないかと思うのですが…

この回答への補足

回答ありがとうございます。

稠密性に２つの意味があるのですか。
勉強不足で後者はあまり知りませんでした。
#1さんへ的外れな補足をしていたんでしょうか？
失礼いたしました。

えっと・・・証明は完了したんでしょうか？
自覚がないです。あってるんでしょうか？

補足日時：2008/05/01 22:59

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/05/01 17:58

実際には「異なる区間から異なる有理数をとれる」のは簡単に証明できるんですが, その線でいこうとすると今度は「無限個の区間がとれる」ことを示さないとダメで, その証明はもとの問題の証明と大差ないような気がします.

... えっと, 言っておいてアレですがそんな証明は実は不要で, (a, b) に存在する有理数 p と (a, p) に存在する有理数 q は必ず異なります. これで「無限個の有理数が存在する」ことが示せます.
または, a < p < q < b なる有理数 p, q をとってきて f(n) = p + (q-p)/n とおくと任意の整数 n に対して f(n) は有理数で n ≠ m なら f(n) ≠ f(m) です. つまり集合 { f(n) } は自然数の集合と 1対1 に対応がつくので (可算) 無限個の要素を持ちます.
もっというと, 「有限個しかない」と仮定して背理法でもできますね. a < p1 < p2 < ... < pn < b とおくと (p1+p2)/2 という有理数がこの列の中に出てこないので.

この回答への補足

回答ありがとうございます。
その１対１対応というのはしらないので勉強します。

No５の補足に書いた証明で有理数n/mを新たにｃと置き同様の証明ができるならそれは無限にあるとは言えませんか？
よろしくおねがいします。

補足日時：2008/05/01 22:35

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/05/01 16:06

あ～, 「|a-b| < ε を満たす a, b による開区間 (a, b) に有理数が存在する」というのは OK なのか? a = b でも |a-b| < ε だよなぁ....

不等号を逆にして b-a > ε であれば (a, b) に有理数が存在することは OK だけど, 「2つの異なる区間 (a1, b1), (a2, b2) から＊異なる＊有理数を見付けることができる」という証明が別途必要じゃないかな?
「無限にある」ことを証明するなら... 思い付く方法は「ある無限集合と 1対1 に対応づけることのできる集合をもってくる」か, 「有限と仮定して背理法」かの 2つ.

この回答への補足

なるほど。
異なる有理数についての言及がないから、無限に数えていたものが実はおんなじ有理数を数えていた　　みたいなことも起こりかねませんね。

その別途の証明を必死に考えているんですが・・・。

補足日時：2008/05/01 16:12

No.6 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/01 15:22

>この解答で有理数は示せたと思っていましたが、勘違いでしょうか？

無限にあることは？

この回答への補足

任意の開区間で成立するのだから
任意の正の数εにたいして、｜a－b｜＜εなるa,bによる開区間
（a,b）にも有理数が含まれることになり、これが有理数の無限個
の言い換えだと思って、先ほどの解答でいいのかな？と思いました。
これはkoko_u_さんの指摘された「無限にあること」の証明になっていませんでしょうか？回答よろしくおねがいします。

補足日時：2008/05/01 15:33

No.5 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/01 14:09

>実際有理数の証明はできたのですが、無理数の証明ができません。

こっちはヒント「有理数と無理数の和が無理数になることを利用する」を使ってどうぞ。
既に (a, b) には無限に有理数があることがわかっているんですよね？

この回答への補足

＞既に (a, b) には無限に有理数があることがわかっているんですよね？

略解ですが、
実数の任意の開区間として、ａ＜Ｘ＜ｂを考えて
アルキメデスの原理より、ｍ(ｂ－ａ)＞１　となる自然数ｍがある。このとき、ｎ－１≦ｍａ＜ｎ　となる自然数ｎ がある。よって、
ａ＜ｎ/ｍ≦ａ＋１/ｍ＜ｂ　が成り立ち、有理数ｎ/ｍ が存在する。

この解答で有理数は示せたと思っていましたが、勘違いでしょうか？

補足日時：2008/05/01 14:37

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/05/01 13:27

念の為ですが一応 #2 に補足: 条件 p<q が必要です.

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/01 12:57

>有理数の稠密性はわかっているものとして、よろしくお願いします。

ではその「わかっている」内容を補足にどうぞ。

この回答への補足

＞ではその「わかっている」内容を補足にどうぞ。
わかりました。
ｘ＞０として考えると、アルキメデスの原理を利用して、ある自然数ｎと任意のεについて、１/ｎ＜εが成立する。
このｎに対してアルキメデスの原理からある自然数ｍでｍ/ｎ＞ｘとなるものがある。ここでそのようなｍのうち最小のものをもってきて
ｐ＝ｍ/ｎとすると｜ｘ－ｐ｜＜εとできる。

これで任意の実数ｘと任意の正の数εに対してある有理数ｐで
｜ｘ－ｐ｜＜εなるｐが存在します。

この有理数の稠密性は理解できます。
実際有理数の証明はできたのですが、無理数の証明ができません。
アルキメデスの原理も理解しているものとしていいです。
アルキメデスの原理の証明を補足に書いてくださいと言われていてはキリがないので・・・。
あと最小のｍが存在することも分かっているものとしていいです。
長くなりました。すいません。
お願いします。

補足日時：2008/05/01 13:41