無理数と有理数について

たとえば0.121212…3121212…みたいに、12が1万回続いて、途中に3があって、その後12が無限に続くというような無理数はありますか。また、0.329…182329…182329…のように、329から182までのランダムな1万個の数字が無限に繰り返される有理数はありますか。

No.5 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/28 14:22

＞「ランダムな1万個の数字が無限に繰り返され・・・」

の意味は「ランダムに並んだ1万個の数字」を1塊として、
それが 無限に繰り返す と云う意味ですか。
ならば、約分できなければ 分子が1万桁の分数になりますから 有理数です。
何桁目からでも 最終的に 循環部分が 無限に続くなら、有理数です。
逆に 完全に循環にならない部分があるなら 無理数です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/04/29 16:30

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/29 04:39

前半

その数をxとすると
(x×10^200001 - x)×10^200001 = 整数
x=整数/{(10^200001-1)×10^200001}
だからxは有理数。

後半は意味不明瞭。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/04/29 16:27

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/28 14:21

[1]

0.121212…3121212… = (0.121212…3) + (0.121212…)/10^2001
右辺の
0.121212…3 は有限小数だから有理数、
0.121212… は循環小数だから有理数。
右辺全体は、
(有理数) + (有理数)/(自然数) だから有理数ですね。

[2]
0.329…182329…182329… = (329…182)/(10^10000 - 1)
これも、(自然数)/(自然数) だから有理数です。

循環小数を分数で書くやりかたは、算数の教科書に載っていますね。
[1] のようにして非循環部と循環部に切り分けた後、
[2] のように (循環節)/(循環節と同じ桁数の9の並び) にすればよいです。

この回答へのお礼

よくわかりました。

お礼日時：2023/04/29 16:31

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/28 13:18

>>12が1万回続いて、途中に3があって

途中に3が無ければ、必ず有理数です。
が途中に3があるので、無理数です。

>>329から182までのランダムな・・・
有理数です。求め方は以下です。

x=0.329・・・・・・・182・・・・、の両辺に10¹⁰⁰⁰⁰を掛け算すると

10¹⁰⁰⁰⁰x=329・・・・・・・182.329・・・・・・・182・・・・

辺々を下-上で計算すると
(10¹⁰⁰⁰⁰-1)x=329・・・・・・・182

∴x=(329・・・・・・・182)/(10¹⁰⁰⁰⁰-1)

xは分母分子が整数で表せる数なので有理数です。

この回答へのお礼

皆少しずつ言うことが違う。

お礼日時：2023/04/29 16:31

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/04/28 11:46

循環小数というのは非常に簡単に分数にできます。

0.000…0a(1)a(2)a(3)…a(N)a(1)a(2)a(3)…a(N)…
(小数点以下0がM個続き後はN桁の並びが循環する)

上記のような循環小数は
(1/10)^M*Σ[s=1～∞](1/10)^(sN){Σ[t:1～N] a(t)*10^(N-t)}
と表されます。一番下のΣの部分は単なるN桁の整数、中央部分は公比(1/10)^Nの無限級数の和ですので
Σ[s=1～∞](1/10)^(sN)=(1/10)^N/{1-(1/10)^N}=1/(10^N-1)
とこれまた単純な分数で表すことができる。
つまり、循環小数は必ず分母分子が整数の分数で会わらすことができ、有理数となるのです。

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます。

当然循環節が1万桁の循環小数はあるということですよね。

お礼日時：2023/04/28 11:58

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/28 11:29

「その後12が無限に続く・・・」ならば、

その数は 理論上 分数で表せますから、無理数には なりません。
「ランダムな1万個の数字が無限に繰り返され・・・」ならば、
分数で表す事が 出来ませんから 有理数ではありません。

この回答へのお礼

早速のご返答ありがとうございます。

＞「その後12が無限に続く・・・」ならば、その数は 理論上 分数で表せますから、無理数には なりません。

ああそういうことでしたか。3以前の数字は関係なかったですね。

＞「ランダムな1万個の数字が無限に繰り返され・・・」ならば、分数で表す事が 出来ませんから 有理数ではありません。

ええとどう言ったらいいのか、「0.329…182329…182329…のように、329から182までのランダムな1万個の数字が無限に繰り返される」というのは、循環節が1万桁ということでした。あらためまして、循環節が1万桁の循環小数はありますか。ちなみに循環小数は有理数でしたよね。

お礼日時：2023/04/28 11:53