
次の極限値は存在するか。存在するときはその値を求めよ。
(1)lim[x→0]sin(1/x)
(2)lim[x→0]xsin(1/x)
(3)lim[x→∞]sin(1/x)
答えはそれぞれ、存在しない、0、0なのですが、理由が全く分かりません。
(1)では存在しなかった極限がsinの前にxがつくだけで極限値を持つことや、同様にx→0が x→∞に変わっただけで極限値を持つことが理解できません。
lim[x→∞]sinxθ/x
であれば、はさみうちの原理を利用すれば解けるのですが、この問題はどう解いたらよいのか分かりません。
教えてください。

No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)lim[x→0]sin(1/x)
lim[x→0]sin(1/x)ということは、t=1/xとおいて
lim[t→∞]sintの値、すなわちsin(∞)の値ということですよね。
sinのグラフを書いてみてください。
sinのグラフは振動しますから、∞の極限でどの値をとるのか決定できません。
よって極限は存在しないといえます。
(2)lim[x→0]xsin(1/x)
lim[x→0]sin(1/x)の極限は存在しないと書きましたが、
グラフから-1<lim[x→0]sin(1/x)<1の有限の値であると言えますね。
一方lim[x→0]xは当然0ですから、
0×(有限の値)ということでlim[x→0]xsin(1/x)=0となります。
答案としては、|sin(1/x)|<1を利用すればいいでしょう。
(3)lim[x→∞]sin(1/x)
これはつまり、t=1/xとおいて
lim[t→0]sin(t)と同じことです。つまりsin0ですから、0ですね。
No.3
- 回答日時:
大学受験以来ほとんど数学に触れていない素人ですが、感覚的に述べたいと思います。
あまり数学的じゃないかもしれません。sinXという関数はただ-1~1の間を延々と振動しているだけなので、X→∞にしても収束しないのは分かると思います。X→(-∞)でも同様です。X→0の時はもちろんsin0=0です。
(1)x→0のとき、1/xは→∞ですよね。上に書いたのと同じ理由で、収束しないので「存在しない」だと思います。
(2)z=1/xとしてみましょうか。
lim[z→∞](1/z)sin(z) としてみると分かりやすいかもしれません。
sin(z)の部分は振動しているだけです。(1/z)の部分は、その振動の大きさ(振幅)といえます。zが∞に近づくにつれて(1/z)は0に収束されるので、波が小さくなって最後にはなくなる(=0)というイメージですよね。
(3)同じように,z=1/xとしてみると
lim[z→0]sin(z)=0になると思います。
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