
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
例えば,動径方向に広がる波みたいな波動方程式を解くと確かベッセル関数になったような気がします.
#2さんが指摘しているように,現実の波はそんなにきれいな正弦波をしていません.私は仕事がら電子回路を見ますが,よほど上手に設計しないと,きれいな発振波形(正弦波)は得られません.見た目にきれいな波形程度なら比較的簡単ですが...
簡単な波紋も,減衰正弦波になったような気がします.
振動や波動の理想的な条件を方程式に表すと,位置に比例して逆方向に力が掛かる,つまり位置の2回微分が位置に比例する,という方程式になります.これがサインカーブになっているのです.
また,一般的な波動方程式からは,サインカーブを直接導くことは出来ません.(サインカーブは波動方程式は満たします.しかし他の関数でも,波動方程式を満たすものがあります.)木の葉動方程式から得られるものは波動の時間変位も位置の変位も同じように位相変化で捉えられる,ということになります.
なので,波の形は必ずしもサインコサインにはならない場合もあります.
ただし,#1さんが指摘されているように,ほとんどの関数はフーリエ展開できますので,その意味では,すべての波形は三角関数で作れるとは言えます.(同じような意味でワイヤシュトラトスの定理があり,すべての波形は多項式で作れるとも言えます.)
No.5
- 回答日時:
簡単にいえば、波は「単振動」だからです。
円運動を横軸に時間、縦軸に円の位置でグラフ化すればSinカーブになります。
x=Acos(ωt+φ)
No.2
- 回答日時:
>波形はなぜ「サインコサイン」なのか
高校以来、「なみ」と言えば、すぐに、「サインコサイン」が頭に浮かびます。しかし、日常経験する「なみ」は、本当に「サインコサイン」でしょうか? 水面の波であれ、地震波であれ、実際の波で「サインコサインカーブ」の波は厳密には存在しません。波というのは、揺れる現象ですよね。ですから、数学的には周期関数であればなんでもかまいません。強いていうならば、周期関数でなくてもよいのいです。では、なぜ波動現象に「サインコサイン」を使うのかの理由は、数学的な取り扱いやすさにあります。「サインコサイン」は何回でも微分できるし、任意の周期関数は「サインコサイン」の級数として表せる、等々です。以上の理由から、波形の代表(波動方程式の特殊解)として、「サインコサイン」が使われるのです。サインカーブは周期関数として最も計算が簡単な関数ですね。
No.1
- 回答日時:
フーリエの定理というのがありまして、すべての周期関数は三角関数の重ね合わせで作ることができます。
したがってサイン、コサインだけやっておけばあとはそれを重ね合わせることでいかようにもすることができます。だから波といえばもっとも簡単なサイン、もしくは、コサインで代表させるのですね。波形にはサイン、コサイン意外にもノコギリ波や矩形波という物もありますよ。もっと複雑なものでは楽器の音とか人間の声とかは単純な関数ではあらわせない波です。
が、上述のとおりこれらの波も、サインとコサインの重ね合わせて作ることができます。
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