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xの方程式e^x=axにはいくつの根〔解〕があるか。ただし、aは定数

という問題の解き方が分かりません。レポートで提出しなければならないので困ってます。

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A 回答 (4件)

 グラフを使った解き方と、増減を使った解き方があります。



(1) グラフによる解法
 y1=e^x, y2=ax とおいてグラフを描きますと、すぐに次の関係が読み取れます。

 a<0のとき、必ず交わり、交点は1つ。
 a=0のとき、交点を持たない。(y1=e^x>0であり、x軸とは交わったり接したりしないので。)


 さて、a>0のときですが、aが小さいうちは、y2=ax は y1=e^x と交わることができませんが、aを大きくするに従って、どこかで接し、それ以降は2点で交わることが読み取れます。(y1=e^x のグラフの傾きは、xが大きくなるに従って大きくなりますので、もし交わったときは、それより大きなxのところでe^xが巻き返し、y2=ax と交わることになるからです。)
 そこで、2つのグラフが接する点を求めてみます。

 いま、この接点の座標を(t,e^t)としますと、接線の方程式は、
  y-e^t=e^t (x-t)
となります。この接線が原点を通るとすると、次の条件を満たさなければなりません。
  0-e^t=e^t (0-t)
 ∴t=1
 従って、接点の座標と接線の傾きは、それぞれ(1,e), e と求められます。

 このことから、a>0では、次のようになることが分かります。
  0<a<eのとき 交わりも接しもしない。
  a=eのとき   1点で接する。
  a>eのとき   2点で交わる。

 以上のことをまとめると次のようになります。
  a>eのとき       2つの解を持つ。
  a<0またはa=eのとき 1つの解をもつ。
  0≦a<eのとき     解をもたない。


(2) 増減表による解法
 (1)では厳密性を欠いた解法になっていますが、(2)では正確に答えが得られます。
 f(x)=e^x -ax とおいて、増減表を作りますと、次のようになります。

  f'(x)=e^x -a  ⇒ a>0のときf'(x)=0となるのはx=log(a)のとき。a≦0のときf'(x)>0となり、f(x)は単調増加関数となる。
  f''(x)=e^x >0 ⇒ f(x)は常に下に凸。

 a>0のとき
 x.|..|..log(a)...|..|
 f'.|-|....0.....|+|
 f''|+|....+.....|+|
 f.|\|a{1-log(a)}|/|

 a≦0のとき
 x.|-∞|..|0|..|∞|
 f'.|.+|+|+|+|+|
 f''|.+|+|+|+|+|
 f.|-∞|/|1|/|∞|

 まず、a>0のときについてですが、f(x)はf(log(a)) で最小値をもちますので、最小値が負のときf(x)=0は2つの解を持ち、0のときに1つの解を持ち、正になると解をもたないことがわかります。
 そこで、f(log(a))を調べてみますと、負になるのは、
  f(log(a))=a{1-log(a)}<0
 ∴a>e
のときだと分かります。このことから、a>0のときは条件によって次のように解の個数が変わることが分かります。
  a>e のとき 2解を持つ。
  a=e のとき 1解を持つ。
  a<e のとき 解を持たない。

 また、a≦0のときについてですが、f(x)は単調増加関数で、x=-∞でf(x)=-∞、x=0でf(x)=1ですから、f(x)=0 は(x<0の範囲で)1解だけ持つことがわかります。
 従って、
  a<0 のとき 1解を持つ。

 あとは、これらをまとめれば、(1)と同じ結論になります。
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この回答へのお礼

すごく丁寧な回答ありがとうございました。本当に助かりました。

お礼日時:2007/06/20 01:28

x=0が方程式の解でないことから、x≠0として考えてよいことになります。


両辺をxで割って (e^x)/x=a
y=(e^x)/x と y=a のグラフの交点の個数を調べましょう。
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この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございました!

お礼日時:2007/06/20 01:26

#2の方の解き方でいいと思いますが、接線の求め方が勘違いされ間違えておられるようです。


根の判別の境界値がa>e,a=e,a<eの部分の「e」に相当する値を「2e」で置き換えればそれ以外はあっています。

接線とaを求める部分は以下のようになります。
y=e^x上の点(t,e^t)(t>0)における接線は
y=(e^t)(x-t)+e^t…(1)
これが
y^2=axの共通接線になることから
a>0として
y=(√a)x^(1/2)
y'=(√a)(1/2)x^(-1/2)
y=(√a)(1/2){t^(-1/2)}(x-t)+e^t…(2)
は同じ接線となるので
e^t=(√a)(1/2){t^(-1/2)}
√a=2(e^t)√t
a=4te^(2t)…(3)
点(t,e^t)がy^2=ax上の点ゆえ
e^(2t)=at=4(t^2)e^(2t)
1=4t^2
t>0から
t=1/2
(3)に代入
a=2e
また接線は(1)から
y=(√e)(x-(1/2))+√e
y=(√e)x+{(√e)/2}
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この回答へのお礼

回答の補足ありがとうございました。

お礼日時:2007/06/20 01:30

y=e^x  ・・・(1)


という関数と
y=ax   ・・・(2)
という関数、2つをx-y平面に書くことを考えてみてください。
このふたつの交わるところのxの値が方程式の解です。
(2)のaは傾きにあたります。
なので、aの値によって(1)と(2)の交わる点の数が変わるはずです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!

お礼日時:2007/06/20 01:31

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