No.30169のnathさんの質問を再掲させていただきます。
「無限室のホテルがあるとして、今このホテルが満室になっているとする。
新しい客がホテルにきたら、その客はこのホテルに泊まれるのでしょうか?」

この質問に対してstomachmanさん、ozapanさんのいずれも「泊まれる」との回答でした。

私がこのことが理解できなかったのでもう少し詳しく教えていただきたいと思い
質問させていただきます。

新しい客が泊まれるとしたらその客のための部屋が空いていたということになり
満室ではないような気がします。

素人考えですが、
「満室にはなり得ない」
あるいは
「満室で新しい客は泊まれない」
のいずれかしかないと思うのですが、いかがでしょう?

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A 回答 (7件)

再びstomachmanです。


質問者のchekiさんは、誠にナイスポイントを突いていらっしゃると思います。
> 「満室にはなり得ない」
ここです。
 無限ホテルが一体どうやって満室になったか。ひとりづつチェックインしてたら、いつまで経っても満室にならないですよね。ところが、そう決めつけたものでもないんです。ともかくごろうじ。

 一つの方法は、一斉に到着して一斉に部屋に入る、という並列方式です。安宿なのでチェックインは各部屋のドアの脇にある投入口に1円入れるだけです。(これでも一晩で莫大な利益が上がります。)
 umehiroshiさんが仰るところてん式の部屋の移動は、まともにやれば無限の時間が掛かりそう(nanashisanさんのナイスツッコミ)です。しかし、泊まっているのは普通のヒトではない。数学的生物なので、ところてん方式でも、
  1号室の生物は1分掛かって2号室へ行く。
次に2号室の生物は1/2分で3号室へ行く。
次に3号室の生物は1/4分で4号室へ行く。
次に.....
とやりますと、 1+1/2+1/4+1/8+.... = 2ですから、2分で全員が移動を完了します。
 もちろん順番にひとりづつチェックインしても、後の方ほど倍倍に早くなるこの数学的生物なら、ホテルを満員にすることが出来ます。フロントはとても忙しいでしょうけど。

 「無限」というのは経験の届かない所にある。直感だけではなかなか扱えません。数学的には「無限公理」を使って、無限の操作を一度にやることを許してしまいます。
 無限公理とは「無限集合が存在する」というものです。省略なし。まさにこの文言通りの公理です。その帰結として(1) 自然数の集合が存在すること、(2) 数学的帰納法が使えること、などが証明されます。逆に言えば「自然数」の概念は無限公理なしには正当化できません。

この回答への補足

数学的生物とは面白い発想ですね。
とにかく無限を直感で扱おうとしていたことに無理があったような気がします。
私も数学を勉強してみようかなぁという気になりました。
どうもありがとうございました。

補足日時:2001/01/23 09:40
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ぺんぺん草も生えてないじゃないですか。

もうやっちゃったんですね....
stomachmanです。

●無限集合の性質。
その集合全体と、その集合の一部とが1:1対応できるというのが無限集合の特徴です。たとえば{1,2,3,4,..... }と{2,3,4,5,....}とが丁度1:1対応できる。この場合の対応とは、部屋をずれて貰う、という移動のことです。そうして1号室を空けたんですね。下記URLの「基数」に関して、ご覧戴くとよろしいかと。
 ま、耄碌してますんで、詳しい話はozapan先生にお任せしまして...

●nanashisanさま< そのツッコミに備えて、stomachmanは全館一斉放送をやったんですヨ。

●jidaidreamさま< それでももちろんOKです。{1,2,...}と{1,2,..,9,11,12,....}でも1:1対応が出来ますからね。しかしこのホテルはお客の手間より、「不公平だ」というクレームが出るのを嫌がるんですよ。なにしろ宿賃が無限に安いもんですから。

★なお、部屋数が有限の場合には、
 「とりあえず1号室に2人入って貰い、
       2号室へ3番目の客を移し、
       3号室へ4番目の客を移し、
       4号室へ5番目の客を移し、....
  とすれば、最後の部屋が空きますから、
  ここに、一時的に1号室に入って貰った客を入れる。」
という手しかありません。わはは。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=20761
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Stomachman師匠がまだいらしていない? では、軽く露払いを。



 実は「無限ホテル」の話は、「無限」概念を扱った本ならたいてい載っているものです。だから僕でも知ってた。(質問した人も知ってて質問してた気配が…)
 では、露払いということで、「無限」の話を…。

 「無限」の世界では、われわれの日常的な感覚を裏切る、奇妙なことが起こります。ユークリッド公理の一つ、「部分は全体より小さい」が成り立たなくなるのもその一つです。
例えば「自然数と平方数は、どちらがより多くあるか」。自然数は「1,2,3,4…」と増えていきます。平方数は「1,4,9,16…」と、自然数に比べて飛び飛びに増えていきます。ここから考えると「平方数は自然数の一部である(平方数の集合は自然数の集合に対して部分集合だ)」と言えそうです。つまり「平方数は自然数より少ない」。
 ところが、よく見ると、一つ一つの平方数には「1」「2」「3」…という「ラベル」が付けられるのです(もともと、その数の平方ですから)。ということは、自然数が増えていけば、それと同じ個数の平方数が存在する…ということになります。
 19世紀から20世紀初頭のドイツの数学者カントールは、このような考察をして、「無限集合とは、その部分集合との間に1対1の対応がつけられる集合である」と定義しました。このことは同時に、「部分は全体より小さい」という公理は、無限集合に関しては適用できないということも意味します。

 それで…それでもって…で…えーと…
 とゆーわけで、あとはstomachman先生にお願いします!


p.s.nanashisanさんへ。隣への引越しは有限時間内に済みます。各自が荷物をまとめて隣に移るだけですから。「荷物が無限にある」となると大変ですが。

この回答への補足

質問した人も知っていた気配が、とはnathさんの事ですよね?
私のは素人の考える所の「無限」でしたが、みなさまから思いっきり「数学」の解答が・・・素人が安易に質問すべきではないですね。
まずは「無限」を理解するところからですね。
自然数とその平方数が同数…なんか分かりそうな気がしてきました。
ありがとうございました。

補足日時:2001/01/23 09:29
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満室であるということは空き部屋は無いはずですよね、でも部屋数に限りが無いとすると、新しい客が現れたときにその人用の部屋が発生する、ということではないでしょうか。

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残念ながら泊まれません。


一部屋ずつ移動してもらってたら、無限の時間がかかります。
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//じだいどりーむ//です。



 質問内容とumehiroshiさんの答えに納得しながら、再発見しています。

 で、僕の考えですが、今、1号室から10号室まで埋まっているとします。
1号室からずれていかなくても、10号室に方に、部屋をひとつ、ずれてもらえば
10号室の人は11号室にいき、新しいお客さんは10号室に入れるというのは
ダメですかねぇ。

 なんだか、わけわからなくなりました。
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「無限」の概念でいくとそうなります。


今、無限室のホテルが満室のところに新しい客が一人来たとき泊まれるか?
前回のお答えでは二方とも、
「客全員に部屋を一つずつずれてもらえれば入れる」
というものでしたね。
具体的に見ていきましょう。
1号室の客は2号室に移動します。そこにいた2号室の客は3号室へ移動します。
同様にずーっと繰り返します。100万号室の客は100万とんで1号室に行きます。まだまだ繰り返します。
部屋数に限りがあるならたとえば1億室しかないとすると、1億号室にいた客は追い出されてしまいます。が、部屋は無限にあるので最後に追い出される客は有りません。つまり、もといたすべての客が部屋に収まった上で空室がひとつできるわけです。もちろん、このあと客が何人来ても同様にして空室を作れます。

いい例かどうかはわかりませんが、こういうものを考えて見てください
「(1/3 ÷ 10) + 0.3 = 1/3」
小数点以下の各桁がホテルの部屋、各桁の3の字が客、1/3が満室のホテル、÷10が1部屋ずれる行為、+0.3が新しい客です。

この回答への補足

無限って難しいですね。
空室がひとつできてしまったら、出来る前と後で数が変わってしまうような気がするのですが
そういう物なんでしょうね。

補足日時:2001/01/23 09:22
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売上高成長率   93%
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例(2)
売上高成長率  110%
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なら、客数成長率が103%、客単価成長率が107%なのに売上高成長率が110%???
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Aベストアンサー

計算すれば出てきます。

例(1)
売上高成長率   93%
客数成長率     85%
客単価成長率  109%


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例(2)
売上高成長率  110%
客数成長率   103%
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次にxを定数とみなして、yで微分し、fy(x,y)を求める。
fy(x,y)=x^3・{1/√(1-y^2)}
=x^3/√(1-y^2)

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

再掲問題なのに
>【問題】
> 2変数関数f(x,y)=x-3 sin^(-1) yの偏導関数を求めよ。
なぜ問題を訂正しないで恥をさらすのですか?

f(x,y)=x^3 sin^(-1) y

さておき、
解答は両方とも合っています。

なお、しいて言えば
arcsin(y)とsin^(-1)(y)
は同じことの書き換えですから、わざわざ書き換える必要はありません。
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(1) 0 < an <= (1/n) (n=1,2,3,…)を示せ。
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よって、k+1のときにも成り立つ。
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【(2)の回答】
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以上、よろしくお願いします。

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【(1)の回答】
n=1のとき、an=1, n=2のとき、an=(1/2), n=3のとき、an=(2/3)が成り立つ。
次に、n=kのときに成り立つと仮定する。即ち、
ak = k!/k^k <= (1/...続きを読む

Aベストアンサー

(1)
n = 3 のとき a_n = 2/3 は、計算違い。a_3 = 2/9 です。
そうでないと、a_3 < 1/3 が成り立ちませんね。
a_n を n = 3 まで求める必要は無いので、薮蛇です。
それよりも、a_1 = 1 であることによって、
「n = 1 のとき 0 < a_n ≦ 1/n が成立している」ことを
ハッキリ書いておかないと、帰納法の体裁が整いません。

「n = k のときに成立すると仮定すれば、n = k+1 でも成立する」
を示す部分で、示すべき式は、
0 < a_n ≦ 1/n に n = k+1 を代入した 0 < a_(k+1) ≦ 1/(k+1) です。
a_(k+1) ≦ 1/k を示しても、しかたありません。
1/k < 1/(k+1) ですから、もう少しタイトな評価が必要です。

(2)
その書き方で、lim{n→∞}a_n の収束性に関する議論が十分か
どうかは微妙です。

「挟み撃ちの原理」は、三つの数列が b_n ≦ a_n ≦ c_n を満たすとき、
lim{n→∞}b_n と lim{n→∞}c_n が同じ値に収束するならば、
「lim{n→∞}a_n も収束して」同じ値を持つ… という定理ですから、
lim{n→∞}a_n の収束性は、当然含まれるのですが、
答案上、それがわかっているとみなされる書き方になっているか否か。

0 < a_n ≦ 1/n が成り立つ。lim{n→∞}(1/n) = 0 であるから、
挟み撃ちの原理により、lim{n→∞}a_n は収束して、
0 ≦ lim{n→∞} an ≦ lim{n→∞} (1/n) = 0。
くらいの書き方が、穏便かと思います。

(1)
n = 3 のとき a_n = 2/3 は、計算違い。a_3 = 2/9 です。
そうでないと、a_3 < 1/3 が成り立ちませんね。
a_n を n = 3 まで求める必要は無いので、薮蛇です。
それよりも、a_1 = 1 であることによって、
「n = 1 のとき 0 < a_n ≦ 1/n が成立している」ことを
ハッキリ書いておかないと、帰納法の体裁が整いません。

「n = k のときに成立すると仮定すれば、n = k+1 でも成立する」
を示す部分で、示すべき式は、
0 < a_n ≦ 1/n に n = k+1 を代入した 0 < a_(k+1) ≦ 1/(k+1) です。
a_(k+1) ≦ 1...続きを読む

Q有界な単調数列の証明(再掲)

こちらの皆様のご指導のもと、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。
証明が変なところがあれば、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は
有界な単調数列であるか?
理由とともに、単調な場合には、
単調増加であるか単調減少であるかについても求めよ。

【証明】
まず、有界かどうかについて証明する。
n→∞とすると、
lim[n→∞] { 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }
=lim[n→∞] (n-1+2-1)/(n+1)
=lim[n→∞] 1-2/(n+1)=1
よって、有界。

つぎに単調増加について証明する。
(n-1)/(n+1) = (n+1-2)/(n+1) = 1-2/(n+1)と変形させることにより、
1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単減少であることより、-2/(n+1)は単調増加。
よって、1-2/(n+1)も単調増加であることが証明される。
∴数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は、
有界な単調増加である。

こちらの皆様のご指導のもと、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。
証明が変なところがあれば、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は
有界な単調数列であるか?
理由とともに、単調な場合には、
単調増加であるか単調減少であるかについても求めよ。

【証明】
まず、有界かどうかについて証明する。
n→∞とすると、
lim[n→∞] { 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }
=lim[n→∞] (n-1+2-1)/(n+1)
=lim[n→∞] 1-2/(n+1)=1
よって、有界。

つぎに単調増加に...続きを読む

Aベストアンサー

かなり微妙な証明・・・・

>よって、有界。
善意に解釈すれば「収束する数列は有界」という
事実を使っているとみなせるので
論理的には間違ってないのだが・・・
この前半部分はまったく不要だから
出題者からみれば
「論理的には間違ってはいないが
内容はまったく理解していない.」としか見えないだろう.

>つぎに単調増加について証明する。
この後半部分だけで問題の解答になっているんだが,
それに気がついていないし,
さらに余計な前半部分があるために
ますます「内容を理解していない」としか見えないだろう.

Q小学校6年生算数(平行四辺形の面積)再掲

2013/12/30 に質問があり、その日に回答、
ベストアンサーを貰ってしまったのですが、
僕にもわからず悩んでいた所があり、
再質問します

問題文:
 図のように、平行四辺形の各辺の3等分点の一つと頂点を結んだ線を
 引きます。網目部分の面積は平行四辺形の面積の何倍ですか。

答えは: 2/5倍


まず、僕の回答は面積の問題を解く上で、
平行四辺形を高さを変えず、長方形にしても
面積は変わらない

長方形を正方形に変形しても、面積の比は
変わらない

として問題を解き、その方針は、簡単に
速く解答する手段として、悪くないと思います

ただ、平行四辺形のまま解答するとすると、
どんな解答がスマートか知りたいです

僕が考えた平行四辺形のままの解答は:

△ ABH、△BCE、△CDF、△ADG いずれの面積も
大きな平行四辺形の面積 S の
1/2 × 1/3 = 1/6 であること

 a + b + c = 1/6 S
 a + c + d = 1/6 S


△ABS と △EBP、△BCP と △FCQ の面積の比が
9:1 であること

 b + c = 9c  →  b = 8c
 a + d = 9a  →  d = 8a

上記を解くと
 a + c = 1/30 S
 b + d = 8/30 S

 a + b + c + d = 3/10 S

編み目部分の四角形の面積は

 S - 2 × 3/10 S = 2/5 S

と一応、正解は得られたのですが、

本当は a = c、b = d だと思うのに、
証明できず、a + c、b + d で計算して
面倒臭かったことです

a = c、b = d をどう証明するのか

および

もっとスマートな解答をお願いします

2013/12/30 に質問があり、その日に回答、
ベストアンサーを貰ってしまったのですが、
僕にもわからず悩んでいた所があり、
再質問します

問題文:
 図のように、平行四辺形の各辺の3等分点の一つと頂点を結んだ線を
 引きます。網目部分の面積は平行四辺形の面積の何倍ですか。

答えは: 2/5倍


まず、僕の回答は面積の問題を解く上で、
平行四辺形を高さを変えず、長方形にしても
面積は変わらない

長方形を正方形に変形しても、面積の比は
変わらない

として問題を解き、その方針は、簡単に
速く解答...続きを読む

Aベストアンサー

小学生なので、相似は使わずに・・
詳しい説明は省きますが・・


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