円錐を平面で切ると

円錐を平面で切ると、角度により双曲線、放物線、楕円が断面として得られます。（切り口の図解は http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwa3/q …

楕円の場合、直感的には卵形になるのではないかと思う方は多いでしょう。卵形でなく楕円であることは数学的に証明できますし、それほど難しいことではありません。

さてお願いです。数式など使わずに、断面は楕円だと「直感的に」説明でき方、誰をも納得させられる方ははおられませんか。エレガントな説明を探しています。

No.1 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/30 22:11

普通に懐中電灯を床にあてて、卵型になると思う人は少ないのではないでしょうか。

この回答への補足

koko_u_さん
有り難うございます。気に入っています。
もう少し考えさせて下さい。
夜になって暗くなったら懐中電灯を点けてみます。

補足日時：2007/07/01 06:39

この回答へのお礼

koko_u_さん
有り難うございます。
回答して下さいました方みなさまへのお礼を
ANo. 9 さんに託しました。

お礼日時：2007/07/07 20:18

No.9 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/07/04 17:39

円錐面と切断平面とに内接する球を２つ（切断平面の反対側に）考えます。

これらの球と切り口との接点をＥ１、Ｅ２とします。ここまでは、＃７さんと同じです。

切り口の周上に任意の点Ｐをとります。Ｐと円錐の頂点とを結ぶ直線が２つの球と接する点をＱ１、Ｑ２とします。このとき線分の長さ（Ｐ～Ｅ１）＝（Ｐ～Ｑ１）、（Ｐ～Ｅ２）＝（Ｐ～Ｑ２）ですから、（Ｐ～Ｅ１）＋（Ｐ～Ｅ２）＝（Ｐ～Ｑ１）＋（Ｐ～Ｑ２）であり、この右辺は（Ｑ１～Ｑ２）に等しく、一定です。

つまり、（Ｐ～Ｅ１）＋（Ｐ～Ｅ２）は一定であり、これは楕円の定義に合致します。

この回答へのお礼

この問答にご参加下さいました方、全てに心から御礼申し上げます。教えていただいたのですから、私が点数を付けられる立場にありませんが、主旨であるエレガントな回答という意味で、懐中電灯で地面を照らす方法が気に入りました。平面上下に内接円を考えるやり方は、計算も少なく、上手に絵を描ければ、誰にでも分からすことが出来そうです。
似た方法が三重県の鈴鹿高専のページにも公開されています。
http://www.suzuka-ct.ac.jp/genl/suugaku/mathfact …

私の友人が考えた説明は、直立した(同じ)円錐を二つ考える。一方を倒立させる。次に水平に少し移動する。この二つの円錐が互いに切り合う切り口は対称である。なぜなら二つの円錐を１８０度回転しても同じ図形が出来るから。従って、この切り口が平面上にある事を説明すればよい。と言うものでした。直感的にはよく分かります。但し、計算があまり易しくありませんでした。

概略の感想とお礼を述べて、この質問を閉じることにいたします。

お礼日時：2007/07/07 17:36

No.8 回答者： samidare01 回答日時： 2007/07/02 22:22

半径の和にはなりません。

ごめんなさい。でもまぁそんな感じです。

この回答へのお礼

有り難うございます。
回答して下さいました方みなさまへのお礼を
ANo. 9 さんに託しました。

お礼日時：2007/07/07 20:21

No.7 回答者： samidare01 回答日時： 2007/07/02 22:13

切り口にも円錐にも接する球を考えてください。

上に下に、と２つありますよね？
切り口と接している点が楕円の焦点となります。というのも、ある点からの球への接線の長さは全て等しいという事実から、２つの球の半径の合計が焦点（接点）からの距離の合計となるからで、これは一定です。Q.E.D. yah hah!!

No.6 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/01 17:14

確かに、円錘面を切った図面だけから二次曲線を同定させるのは無理でしょうね。

かといって数式使用を拒否されると、図面を描いてみたら、というくらいしか手は無さそうです。

図学の人気はイマイチ。
一つだけ見つけたけれど、肝心の作図説明は省略してます。
-------------------------------
　http://www.rsch.tuis.ac.jp/~naka/naka/scola/memb …
>4.4.2 2次曲線

この回答へのお礼

178tallさん
有り難うございます。数式使用を拒否というのはずいぶん勝手な問題設定であることよく承知しております。しかし、数式を使用せずハーハンと分からせることが出来ればと考えたのです。
また、円錐曲線について知識のある人は、円錐の断面を紙に画く時にはごく自然に楕円を画くのです。画いた図面に違和感は全くありません。直感的には卵形であると言うこと自体おかしいのかも知れません。
実は図学ではどのような作業をしたかなと５０年前に使用した教科書を探しましたが、見つかりませんでした。図学は理系の学校でただ一つ証明を要求されない学科で、そのために人気も今ひとつですが、それなりの良さもあるのですね。教えていただいた資料には感心いたしました。長い資料ですがプリントしてみました。このような世界があり、このようなことに携わる方々もおられるのですね。
長くなりました。大変参考になりました。

お礼日時：2007/07/01 18:18

No.5 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/01 16:51

お手数をおかけして申し訳ありません。

自分のパソコンからは見れますし、
以前この方法で投稿したときに問題なかったようなのですが、
環境によっては見れないのかもしれません。

http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/kts2371148/vwp2? …

http://
briefcase.yahoo.co.jp/bc/kts2371148/vwp2?.tok=bcoy1UZBtMAXFFCQ&.dir=/2a90&.dnm=qa3128544.jpg&.src=bc

ではどうでしょうか？

この回答へのお礼

有り難うございます。
回答して下さいました方みなさまへのお礼を
ANo. 9 さんに託しました。

お礼日時：2007/07/07 20:20

No.4 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/01 09:01

恐らく、そのままクリックすれば表示されるはずですし、

右クリック → ショートカットのコピー でも大丈夫だと思いますが、
http:// 以降を書いておくと、

proxy.f3.ymdb.yahoofs.jp/bc/467298e0_6812/bc/2a90/qa3128544.jpg?BCiknhGB.s6GMGFy

です。

この回答への補足

いろいろ試みましたがうまく行きません。
教えていただいたページから、更に自動的に
http://bcvrf.yahoo.com/bc/467298e0_6812/bc/2a90/ …
へ飛ぶらしいのです。
ここで、bcvrf.yahoo.com と言うページが見つからないと表示されるのです。

補足日時：2007/07/01 14:18

No.3 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/01 00:19

この図のような説明でどうでしょうか？

http://proxy.f3.ymdb.yahoofs.jp/bc/467298e0_6812 …

まず、上記アドレスの図の左上にある円錐を考えます。
この円錐から、横に平行四辺形移動すると、
図の右上のような斜円錐になります。
今度は、この斜円錐を縦に平行四辺形移動させて、再び円錐にします。
すると、

円錐
　→ （横に平行四辺形移動） → 斜円錐
　→ （縦に平行四辺形移動） → 円錐

の切り口は、

円
　→ （横に平行四辺形移動） → 円
　→ （縦に平行四辺形移動） → 楕円

になります。

この回答への補足

kts2371148 さん

教えて下さった URL の
http://proxy.f3.ymdb.yahoofs.jp/bc/467298e0_6812 …
最後に・・・とあります。ここを教えて下さい。ここがないとエラーになります。

恐れ入りますがよろしく。

補足日時：2007/07/01 06:32

No.2 回答者： ykgtst 回答日時： 2007/06/30 23:58

円錐を底面に平行な面で切断すれば円であることを見せ、その面を斜めに傾ければ楕円になりますが、それはＮｏ１の方の説明がわかりやすいですね。

斜射影です。

この回答への補足

ykgtstさん
ｘｙｚの直角座標を考える。
ｘｙ平面に円錐を直立させ、円錐の頂点をｚ軸上に置く。
水平な平面で円錐を切る。
ｘｙ座標は元のまま、z軸のみが傾くような、、線形写像を考える。

斜写像の定義を知りませんが、これがご説明の主旨だと理解いたしました。
ykgtstさんのご説明は、柱は立たせたまま、床面が傾くイメージ、
No.1 の方は、柱が傾くイメージですね。

もう少し考えさせて下さい。
これは中間報告、中間謝辞です。

補足日時：2007/07/01 07:10

この回答へのお礼

有り難うございます。
回答して下さいました方みなさまへのお礼を
ANo. 9 さんに託しました。

お礼日時：2007/07/07 20:19