平行四辺形について

平行四辺形ABCDの各辺の中点を図のようにE,F,G,Hとし、線分AG,CEと線分BH,DFとの交点をK、M,Nとする。このとき、四角形KLMNの面積は四角形ABCDの面積の何倍か。

面積の図は（頂点は）左上から下、右、に回って
A,E,B,F,C,G,D,H

真中の平行四辺形は右から下と言う順でL,M,N,K

全体的にどのように求めるかわからないのですが、
特に、AK=2EL、EL=NG
についてどうして成り立つのかがよくわかりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： neue_reich 回答日時： 2003/08/05 09:38

まずは、平行線に関する基本を整理してみましょう。

平行な２直線に交わるような直線を引いたときにできる角の
角度は（鋭角または鈍角同士で比べた場合）同じになる。
というのを使うと、三角形ＡＢＨと三角形ＣＤＦの
３つの内角はそれぞれ等しいことがわかると思います。
（線分ＢＨと線分ＤＦが平行であることも使ってください）
よって、三角形ＡＢＨと三角形ＣＤＦは合同です。
これを使えば（もう少し手順が要りますが）
面積については見えてくるはずです。
ついでに、ＥＬ＝ＮＧは三角形が合同であることから
わかると思います。

ＡＫ＝２ＥＬについては、三角形をＡＢＨとしてではなく、
ＡＢＫとして考えてください。
すると、中点連結定理が使えますので自明です。

No.3 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/08/06 16:18

boku115さん、こんにちは。

＃２fushigichanです。

＞あの。掃除比についてよくわかりません。

ごめんなさい、掃除比ではなく、相似比です。
つまり、相似関係にある２つの図形の、比率です。

辺の比率が１：２の相似な図形の相似比は、１：２です。

図形が相似の関係にあるときに、１つの辺をとってみて、
その辺の長さの比率がどうなっているか？ということですね。

△AKB∽△ELB
ですから、辺の比率＝相似比＝ABの長さ：BEの長さ＝２：１
ということです。

さて、
＞AK=2EL、EL=NG

が成り立つところまでは、分かりました。
あとは、面積の比率を求めればいいですね。

さて、△ABK∽△EBLだったように、
△DAN∽△HAKとなり、この相似比も、２：１となっています。
つまり、AK=KNです。

直線AGをみてみましょう。
AK=KN、NG=EL=1/2AK
でしたから、AG=5NG

つまり、AGを５としたときに、KNは２の長さですね。
平行四辺形KLMN=(2/5)AG×高さ=(2/5)*平行四辺形AECG

平行四辺形AECGは、平行四辺形ABCDの1/2なので

平行四辺形KLMN=(2/5)*(1/2)*平行四辺形ABCD

となるので、全体の５分の１であると分かります。
頑張ってくださいね。

No.2 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/08/05 10:47

boku115さん、こんにちは。

真ん中の四角形が、平行四辺形になることは、いいのでしょうか？

△ＡＤＧ≡△ＣＢＥ
（ＡＤ＝ＢＣ
　∠Ｄ＝∠Ｂ
　ＧＤ＝ＢＥ＝1/2ＡＢ＝1/2ＣＤより）

だから、ＡＧ＝ＥＣ

また、∠ＥＣＤ＝∠Ｃー∠ＥＣＢ＝∠Ａ－∠ＤＡＧ
＝∠ＢＡＧ
これが、錯角となるので、ＡＧ//ＥＣ

同様に、ＤＨ//ＦＤ

となるので、真ん中は平行四辺形ですね。

さて、△ＡＫＢと△ＥＬＢにおいて、
∠ＡＢＫ＝∠ＥＢＬ共通
ＡＫ//ＥＬより、
∠ＥＡＢ＝∠ＬＥＢ
これが、錯角で等しいですね。
したがって３つの角が等しくなるので、
△ＡＫＢ∽△ＥＬＢです。

その掃除比は、ＡＢ＝２ＢＥですから２：１
よって、ＡＫ＝２ＥＬ
がいえましたね。

また、△ＤＧＮ∽△ＤＣＭ
も同じようにいえますね。
これから、ＭＣ＝２ＮＧです。

ここで、他の辺の比を考えると、
ＡＢ＝２ＥＢ
ＤＣ＝２ＤＧ
ですが、ＡＢ＝ＤＣ（もとの平行四辺形の辺である）
ですから、
ＤＧ＝ＢＥ
また四角形ＫＬＭＮは平行四辺形だと上で証明したので、
ＫＬ＝ＮＭ
ＫＮ＝ＬＭ

このことから、
ＮＭ＝ＤＮ＝ＫＬ＝ＢＬ
∠ＮＤＧ＝∠Ｄ－∠ＨＤＦ＝∠Ｂ－∠ＨＢＦ＝∠ＡＢＨ
であるから、
△ＤＧＮ≡△ＢＥＬ

したがって、ＥＬ＝ＮＧが成り立ちます。

この回答への補足

ありがとうございます。
あの。掃除比についてよくわかりません。
それから、答えは1/4平行四辺形ABCDであっていますか？

補足日時：2003/08/06 13:35