記憶があいまいなんですが。。

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質問者：kumakuman3
質問日時：2007/07/06 01:26
回答数：3件

記憶があいまいですいません。

以前テレビで
1/2+1/3+1/4+...=-1/12(無限大まで計算)

見たいなのをやっていました。上の式の記憶はかなりあいまいですが、こんな形だったと記憶しています。
上の式を導くには複素～法（だったかな??）みたいなのを用いるといっていたんですが、左辺は負になりようがないと思うんです。

どうなんですかね??参考になるサイトがあれば教えてください。

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回答 (3件)

No.3ベストアンサー

回答者： zk43
回答日時：2007/07/06 19:12

全複素平面で定義されたゼータ関数はs>1ではζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+…

という計算が成り立つのであって、s≦1ではこの式のまま計算したので
は成り立ちません。
なので、正確にはζ(-1)=-1/12ですが、あくまでもs≦1への拡張の「表
現」として、1+2+3+…=-1/12としています。
ゼータ関数の値として解釈するということです。
ですから本当に1,2,3,…を足しているのではありません。
本でも"1+2+3+…"=-1/12などと書いてある場合があり、" "がついてい
ます。ゼータ関数の値として解釈する、ということを強調したもので
あると思います。
なお、関数論に一致の定理というのがあり、解析接続される関数は
一意的に定まります。

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この回答へのお礼

なるほどねーー(´・ω・`)

難しい世界でした。。。
有難うございます。

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お礼日時：2007/07/11 02:39

No.2

回答者： zk43
回答日時：2007/07/06 01:54

1/2+1/3+1/4+…=∞で、1+2+3+…=-1/12のことですね。

過去にも何回か質問にでたとおもいますが、これはゼータ関数
ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+…を全複素平面に解析接続して、s=-1における
値が-1/12という意味で、もちろん普通に1+2+3+…とやったのでは∞
になってしまします。
計算はφ(s)=1-1/2^s+1/3^s-…という関数を導入してちょっとテクニカ
ルな方法でできるのですが、書くのが面倒なので省略しますが、計算は
オイラーが行い、約１００年後にリーマンが解析接続という概念によっ
て意味づけをしたものです。
前にオイラー生誕３００年という朝日新聞の記事にも出ていましたね。
「オイラー　リーマン　ラマヌジャン　黒川信重著」という本が参考
になると思います。また、これらやゼータ関数というキーワードで検索
しても関連のものがいろいろあると思います。