問、{an}(n=1,2,…)をQの中のコーシー列とする。
bn=an+(1/2n) と定めるとき、
{an}~{bn} (n=1,2,…) (同値)であることを証明せよ。
という問題で、同値関係の推移律の証明を教えてください。
特に、任意のQの中の3つのコーシー列を{an},{bn},{cn}とした時、
任意の正の有理数εに対して、{an}~{bn}より、
N1<m,n ⇒ |(am-bm)-(an-bn)|< ε/2 とできる。
とありますが、なぜ、ε/2 になるのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
もう 1つ似た式がでて, これも右辺が ε/2 (になるはず) なので足すと ε だからきれいだよね~って感じかな.
どんなのでもいいんだけど, 最後に ε を出したいんでしょう. だから, 例えば 2ε/3 と ε/3 でもいいんだけど, 対称的な話なので 2ε/3 と ε/3 だと読む人が理解しにくかったりします (むしろ「なぜ 2:1 の比なんだろう」などと邪推してしまう).
No.2
- 回答日時:
後半部分の
任意の正の有理数εに対して、{an}~{bn}より、
N1<m,n ⇒ |(am-bm)-(an-bn)|< ε/2 とできる。
についてですが、{an}~{bn}より、n大きくすると|an-bn|の値を
いくらでも0に近づけることができます。
|(am-bm)-(an-bn)| ≦|am-bm|+|an-bn|
右辺の2つの絶対値の中は両方ともε/4より小さくできます。(なぜなら、{an}~{bn}より差をいくらでも小さくできることと、εは定数)
よって、 |(am-bm)-(an-bn)|< ε/2
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