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微分するときsinとocosがプラスマイナスを変えながら交互に出てきますがこのことと虚数単位iを掛けていくと-1と-iと1が出てくることと似ていると思いますがこれはオイラーの公式と関係があることでしょうか。

A 回答 (2件)

こんにちは。



> これはオイラーの公式と関係があることでしょうか。

はい。もちろん関係ありますよ。

オイラーの式は

e^{iθ} = cosθ + i sinθ

ですよね。θ=0 のとき、e^{i0} = 1 になりますね。

オイラーの式の左辺を θ で微分すると、i e^{i θ} になります。
つまり i をかけることと、微分することは、この式に関しては同じになりますね。

θ=0 を代入すれば、i e^{i θ} = i になります。

以下同様に f(θ) = e^{i θ} とおくと、

f^{n}(0) = i^{n} になりますね。

n=4m+k とおいて、
k=0で 1
k=1で i
k=2で -1
k=3で -i
です。

これがご質問の、

> 虚数単位iを掛けていくと-1と-iと1が出てくることと

に相当します。

一方、オイラーの式の右辺を θ で微分していくと、

(cos θ + i sinθ)' = - sinθ + i cos θ
(cos θ + i sinθ)'' = - cosθ - i sin θ
(cos θ + i sinθ)''' = sin θ - i cos θ
(cos θ + i sinθ)'''' = cos θ + i sin θ

ということで、4回周期で元に戻ります。

これが、

> sinとocosがプラスマイナスを変えながら交互に出てきます

のことですね。

つまり一つの式の同じ4回周期を、見ていることになります。

当然、上の sin、cos の微分の式でθ=0 を代入すれば、
n を微分の階数として、もういちど、

n=4m+k とおいて、
k=0で 1
k=1で i
k=2で -1
k=3で -i

が出てくることは言うまでもないことですね。
(元が同じ式なので。)


もう一つ別の見方で説明します。

複素数に i をかけるということは、i = e^{iπ/2} をかけることなので、位相を π/2 だけ回転させることに相当します。

つまり複素数 z = r e^{iθ} に i をかけると、

iz = r e^{i (θ+π/2)} になりますね。


三角関数の微分も実はそうなのですよ。

[cos(θ)]' = - sin(θ) = cos(θ+π/2)
[sin(θ)]' = cos(θ) = sin(θ+π/2)

ということで、三角関数を微分するということは、位相をπ/2だけ増やすとに相当します。

どちらも 4回で元に戻ることは、明らかですね。
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この回答へのお礼

ご丁寧にご説明いただきましてありがとうございました。勉強の指針として大切にさせていただきます。

お礼日時:2007/07/24 15:39

  y = cos(x)+i*sin(x)


と置きます。
両辺をxで微分して
  dy/dx = -sin(x)+i*cos(x)
     = i*(cos(x)+i*sin(x))
     = i*y

これはyとxについての微分方程式になっています。
  (1/y)dy = idx
  ln(y) = i*x
  y = exp(i*x)
   = cos(x)+i*sin(x)

というわけで、sin,cosの微分から天下り的にオイラーの公式が導けます。
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この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。オイラーの公式から微分におけるsinとcosの関係は出てこないのでしょうか。

お礼日時:2007/07/24 15:35

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回答しようと思ったら、締め切られていたので、、、ちょっとビックリしました。
ご質問のセミダブルとは、要するにベッドのサイズのことです。
以下に並べてみましたので、参考にしてください。

◆部屋のタイプ
「シングル」・・・一人用ベッドの部屋
 主にビジネスホテルに多いタイプで、部屋も一番狭い。

「ツイン」・・・一人用ベッドが独立して2つある部屋
 最もポピュラーなタイプ。シングルに比べて部屋がベッド1つ分広いので、一人の利用でもわざわざツインを利用する人もいる。

「ダブル」・・・ダブルサイズ以上(不通はクイーン以上)のベッドが一つある部屋
 ツインよりは数が少ない。一つのベッドに2人で寝る

「トリプル」・・・ベッドが3つ、或いはツインに簡易ベッドが一つある部屋
 あまり一般的ではないので、簡易ベッドはソファーベッドの場合が多い。或いは、シングル1+ダブル1の場合もある

「フォース」・・・4人用。滅多にないタイプ。多くの場合、クイーンベッドが2つある感じ。アメリカなど家族旅行の盛んなところで見られる。

「セミスイート」・・・スイートに準じる部屋 ジュニアスイートともいう。

「スイート」・・・ベッドルームとリビングルームが分かれている部屋
 一般的には最上級の部屋。中には数十万~百万前後の部屋もある。中堅クラスのホテルなら数万円で利用できるので、特別な記念日などに利用する人も多い。

□番外編
「ステューディオ」・・・ソファーまたはカウチベッドがついている部屋。シングルまたはダブルベッドと組み合わさっているのが一般的。

「キチネット」・・・簡易キッチン(コンロとシンク、若干の料理器具など)がついている部屋。ホテルの部屋で自由に調理することができるタイプ。都会のシティホテルには少なく、リゾートのコテージや郊外のモーテルなどでよく見られる。


◆ベッドのサイズ
シングル 幅100~120cm 長さ195~205cm
・・・やっぱり一人用。
セミダブル幅120~130cm 長さ 同上
・・・これも一人用。2人ではちょっと狭いかも。その分お互いが密着できるかな?
ダブル  幅140~150cm 長さ 同上
・・・ようやく2人で寝れるサイズです。
クイーン 幅160~170cm 長さ 同上
・・・ダブルルームのベッドはふつうこのサイズです。
キング  幅180~200cm 長さ 同上
・・・真横になって寝ても大丈夫。ベッドの上でプロレスも出来ます。

ついでに・・・
◆日本と外国のホテル料金のシステムの違い
日本では、部屋のタイプに関わらず、一人~~円で料金が設定されています。
ツイン1万円を2人で利用なら、1万×2=2万円が料金です。
海外では、利用する人数に関わらず、一部屋~ドルなどで設定されています。
ツイン100ドルなら、何人で利用しても100ドルです。(もちろん人数の制限はありますが)
日本でも外資系のホテルではこのシステムを導入しているところがあります。

参考URLもどうぞ。

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「シングル」・・・一人用ベッドの部屋
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