微分におけるsinと cosの関係と虚数単位iをかけること

微分するときsinとocosがプラスマイナスを変えながら交互に出てきますがこのことと虚数単位iを掛けていくと－１と－iと１が出てくることと似ていると思いますがこれはオイラーの公式と関係があることでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/24 07:09

こんにちは。

> これはオイラーの公式と関係があることでしょうか。

はい。もちろん関係ありますよ。

オイラーの式は

e^{iθ} = cosθ + i sinθ

ですよね。θ=0 のとき、e^{i0} = 1 になりますね。

オイラーの式の左辺を θ で微分すると、i e^{i θ} になります。
つまり i をかけることと、微分することは、この式に関しては同じになりますね。

θ=0 を代入すれば、i e^{i θ} = i になります。

以下同様に f(θ) = e^{i θ} とおくと、

f^{n}(0) = i^{n} になりますね。

n=4m+k とおいて、
k=0で 1
k=1で i
k=2で -1
k=3で -i
です。

これがご質問の、

> 虚数単位iを掛けていくと－１と－iと１が出てくることと

に相当します。

一方、オイラーの式の右辺を θ で微分していくと、

(cos θ + i sinθ)' = - sinθ + i cos θ
(cos θ + i sinθ)'' = - cosθ - i sin θ
(cos θ + i sinθ)''' = sin θ - i cos θ
(cos θ + i sinθ)'''' = cos θ + i sin θ

ということで、4回周期で元に戻ります。

これが、

> sinとocosがプラスマイナスを変えながら交互に出てきます

のことですね。

つまり一つの式の同じ4回周期を、見ていることになります。

当然、上の sin、cos の微分の式でθ=0 を代入すれば、
n を微分の階数として、もういちど、

n=4m+k とおいて、
k=0で 1
k=1で i
k=2で -1
k=3で -i

が出てくることは言うまでもないことですね。
（元が同じ式なので。）


もう一つ別の見方で説明します。

複素数に i をかけるということは、i = e^{iπ/2} をかけることなので、位相を π/2 だけ回転させることに相当します。

つまり複素数 z = r e^{iθ} に i をかけると、

iz = r e^{i (θ+π/2)} になりますね。


三角関数の微分も実はそうなのですよ。

[cos(θ)]' = - sin(θ) = cos(θ+π/2)
[sin(θ)]' = cos(θ) = sin(θ+π/2)

ということで、三角関数を微分するということは、位相をπ/2だけ増やすとに相当します。

どちらも 4回で元に戻ることは、明らかですね。

この回答へのお礼

ご丁寧にご説明いただきましてありがとうございました。勉強の指針として大切にさせていただきます。

お礼日時：2007/07/24 15:39

No.1 回答者： proto 回答日時： 2007/07/24 02:05

　　y = cos(x)+i*sin(x)

と置きます。
両辺をxで微分して
　　dy/dx = -sin(x)+i*cos(x)
　　　　　= i*(cos(x)+i*sin(x))
　　　　　= i*y

これはyとxについての微分方程式になっています。
　　(1/y)dy = idx
　　ln(y) = i*x
　　y = exp(i*x)
　　　= cos(x)+i*sin(x)

というわけで、sin,cosの微分から天下り的にオイラーの公式が導けます。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。オイラーの公式から微分におけるｓｉｎとｃｏｓの関係は出てこないのでしょうか。

お礼日時：2007/07/24 15:35