
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
> これはオイラーの公式と関係があることでしょうか。
はい。もちろん関係ありますよ。
オイラーの式は
e^{iθ} = cosθ + i sinθ
ですよね。θ=0 のとき、e^{i0} = 1 になりますね。
オイラーの式の左辺を θ で微分すると、i e^{i θ} になります。
つまり i をかけることと、微分することは、この式に関しては同じになりますね。
θ=0 を代入すれば、i e^{i θ} = i になります。
以下同様に f(θ) = e^{i θ} とおくと、
f^{n}(0) = i^{n} になりますね。
n=4m+k とおいて、
k=0で 1
k=1で i
k=2で -1
k=3で -i
です。
これがご質問の、
> 虚数単位iを掛けていくと-1と-iと1が出てくることと
に相当します。
一方、オイラーの式の右辺を θ で微分していくと、
(cos θ + i sinθ)' = - sinθ + i cos θ
(cos θ + i sinθ)'' = - cosθ - i sin θ
(cos θ + i sinθ)''' = sin θ - i cos θ
(cos θ + i sinθ)'''' = cos θ + i sin θ
ということで、4回周期で元に戻ります。
これが、
> sinとocosがプラスマイナスを変えながら交互に出てきます
のことですね。
つまり一つの式の同じ4回周期を、見ていることになります。
当然、上の sin、cos の微分の式でθ=0 を代入すれば、
n を微分の階数として、もういちど、
n=4m+k とおいて、
k=0で 1
k=1で i
k=2で -1
k=3で -i
が出てくることは言うまでもないことですね。
(元が同じ式なので。)
もう一つ別の見方で説明します。
複素数に i をかけるということは、i = e^{iπ/2} をかけることなので、位相を π/2 だけ回転させることに相当します。
つまり複素数 z = r e^{iθ} に i をかけると、
iz = r e^{i (θ+π/2)} になりますね。
三角関数の微分も実はそうなのですよ。
[cos(θ)]' = - sin(θ) = cos(θ+π/2)
[sin(θ)]' = cos(θ) = sin(θ+π/2)
ということで、三角関数を微分するということは、位相をπ/2だけ増やすとに相当します。
どちらも 4回で元に戻ることは、明らかですね。
No.1
- 回答日時:
y = cos(x)+i*sin(x)
と置きます。
両辺をxで微分して
dy/dx = -sin(x)+i*cos(x)
= i*(cos(x)+i*sin(x))
= i*y
これはyとxについての微分方程式になっています。
(1/y)dy = idx
ln(y) = i*x
y = exp(i*x)
= cos(x)+i*sin(x)
というわけで、sin,cosの微分から天下り的にオイラーの公式が導けます。
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