gooポイントが当たる質問投稿キャンペーン>>

タイトルどおり虚数iのi乗を求めなさいという問題が
テストで出題されました。が、どのようにアプローチ
すればよいのか見当がつきません。ちなみに、テスト
の分野は、複素関数です。お願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

0の階乗」に関するQ&A: 0の階乗は1?

A 回答 (3件)

 


i=e^(z) として、z=x*i によって、iを、eの階乗の形に表現します。これは、無論、オイラーの公式を使うためです。

i=e^(xi)=cos(x)+i*sin(x)

このような等式が成り立つには、

cos(x)=0  かつ  sin(x)=1
→ x=(π/2)+n*π  nは整数

i^i=e^(xi*i)=e^(-x)  よって

i^i=e^[-(π/2+n*π)]
 
    • good
    • 1

まず、複素平面上で考えます.


複素平面で半径:r、角度:θの点について考えると、
その点へのベクトルはr*cosθ+ir*sinθなので
=r(cosθ+isinθ)=re^iθ←オイラーの公式ですね.

次にiっていうのは複素平面上では実数軸が0、虚数軸が1の点ですので
上の式で表すとr=1、θ=π/2+2nπです.(n=1,2,3,・・・)
これを先ほどの式に代入すると
i=e^i(π/2+2nπ)になります.
このiを求めたいi^iの階乗じゃない方に代入すれば答えがでます.

ちなみにn=0とすれば答えは簡単でi^i=e^(-π/2)になります.
nが0じゃない場合はi^i=e^-(π/2+2nπ)

以上です.たぶんあってると思いますが、自分で確認してみてください.
    • good
    • 0

参考URLを見ていただければ分かると思います。



参考URL:http://homepage1.nifty.com/s_miyake/hp/ipower.htm
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q2の虚数乗は複素数になるか?

虚数iの2乗は-1になると習ったことがあります。
では、2のi乗は複素数になるのでしょうか?
私の知っている限り、複素数はa+ib(a,bは実数)となるように習ったと思います。
オイラーの式でeのiπ乗は-1になることも習ったことがあります。
しかし、eの場合は特別なのではないかと思います。
虚数乗の意味もわかりません。
このような計算は許されていないのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

虚数による累乗は定義されています

e^{iπ}=cosπ+sinπ=-1です.
これは
e^{iθ}=cosθ+isinθ
からスタートしています.

これを細工します.
2=e^{log2}
ですので
2^i = e^{ilog2} = cos(log2)+isin(log(2))
となります

指数の場合,指数関数を複素数の領域にまで
拡張できるということだけ(とはいっても重要)ですが,
複素数の対数関数には(それから発する)
深い議論があります.
#興味があれば「リーマン面」「解析接続」とかで
#ぐぐってください

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q複素数の階乗について

複素数の階乗を考える場合、どうやって考えていいのかわかりません。
具体的には
|(ix)!|^2=πx/sinh(πx)
の証明なのですが、どうやって証明すればよいのでしょうか。ガンマ関数を使って解くというのは、予想がつくのですがそこからすすまずにとまっています。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

参考程度に
[具体的には |(ix)!|^2=πx/sinh(πx)
の証明なのですが、どうやって証明すればよいのでしょうか。ガンマ関数を使って解くというのは、予想がつくのですがそこからすすまずにとまっています。 ]

ハイパボリックサインなんかがありますので複雑のように見えますが与式を少し整理して考えるといいんですね。
|(ix)!|^2=πx/sinh(πx)
sin(ix)=isinh(x) の関係がありますので、
z=(ix)
|(ix)!|^2=|z!|^2=πz/sin(πz)
→z*{π/sin(πz)}=z*Γ(z)Γ(1-z)
Γ(z)Γ(1-z)={π/sin(πz)}
になりますから漸近化式に持ち込めばできそうでね。
そこで、
z!=Γ(z+1)
Γ(z+1)=∫[0→∞]t^-1*t^z*dt
|z!|^2=|Γ(z+1)|^2=|Γ(z+1)|*|Γ(z+1)|
=|Γ(z+1)*z*Γ(z)|=|z*Γ(z+1)*Γ(z)|
ここで、
|z+1|=z', z=-(1-z') と置いて考えると、
|Γ(z+1)*Γ(z)|=|Γ(z')*Γ(-(1-z))|
=|-Γ(z')*Γ(1-z')|=Γ(z')*Γ(1-z')
つまり、|Γ(z+1)*Γ(z)|≡Γ(z)Γ(1-z) ですね。
だから
|z!|^2=|z*Γ(z+1)*Γ(z)|=πz/sin(πz)
になりますね。
zの代わりにixを使えば、
|(ix)!|^2=πix/sin(πix)=πx/sinh(πx)
の形になりますね。
ということでしょうかね。
簡便ですが参考程度に

註:Γ(z)Γ(1-z)={π/sin(πz)}になることはオイラー関数を参考に。

参考程度に
[具体的には |(ix)!|^2=πx/sinh(πx)
の証明なのですが、どうやって証明すればよいのでしょうか。ガンマ関数を使って解くというのは、予想がつくのですがそこからすすまずにとまっています。 ]

ハイパボリックサインなんかがありますので複雑のように見えますが与式を少し整理して考えるといいんですね。
|(ix)!|^2=πx/sinh(πx)
sin(ix)=isinh(x) の関係がありますので、
z=(ix)
|(ix)!|^2=|z!|^2=πz/sin(πz)
→z*{π/sin(πz)}=z*Γ(z)Γ(1-z)
Γ(z)Γ(1-z)={π/sin(πz)}
になりますから漸近化...続きを読む

Q0の階乗はなぜ1になるのですか?

手元にある本に、0の階乗は深い理由により1になる、
と書かれてあるのですが、これはなぜこうなるのでしょうか?

普通に考えると0になると思うのですが。

ガンマ関数の導出の仕方を勉強しなければ分からないことなのでしょうか?

Aベストアンサー

こんばんわ

他人のふんどしですが、
Wikipediaには二通りの苦しい解釈が挙げられていますね。

「(n-1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、
あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 nPn に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、など」

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング