スターリングの公式

事象Aが起こる確率がpであるとする、いまn回独立試行を行なったとし事象Aがｘ回起こる確率をP（ｘ)で表すことにするP（ｘ）は二項分布に従うスターリングの公式を用いることでP（np)の近似式を求めよ
って問題なんですがまったくわかりません・・・・

No.2 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/29 08:59

こんにちは。

n回中x回事象Aが起きるのは、組合せを計算して、

n!/[x!(n-x)!] 通りあることは分かりますね。

事象Aは確率pなので、

P(x) = n!/[x!(n-x)!]・p^x (1-p)^{n-x}

がその確率です。

スターリングの公式は、n!≒(n/e)^n とする近似式です。
ここで e は自然対数の底です。

これを使うと、

P(x) ≒ n^n/[x^x (n-x)^{n-x}]・p^x (1-p)^{n-x}
≒ 1/[(x/n)^x (1-x/n)^{n-x}]・p^x (1-p)^{n-x}

ですが、P(np) を求めたいので、x=np を代入すると、

P(np) ≒ 1

になります。スターリングの公式は、n が大きい場合なので、nが大きいときには、殆ど確実に、x = np が起きるということになりますね。


ちなみに、n が小さくても大きくても、

Σ_{x=1,n} P(x) = 1

はいつでも成立ちます。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/07/29 00:45

（２項分布の極限としての）ポアソン分布の導出過程を調べてみるとよいでしょう。