分からない問題があるので教えてください。 同じサイコロを180回投げる。二項分布において試行回数18

分からない問題があるので教えてください。

同じサイコロを180回投げる。二項分布において試行回数180は中心極限定理を適用できる大きさである。
(1)いずれの目も出る確率は同じという前提のもと、「1」の目が出る回数を信頼係数80％、90%、95%で推定しなさい。
(2)「1」の目が39回出たとする。「1」の目は確率1/6で出てるという仮説を有意水準20％、10％、5％で検定しなさい。

導出過程も教えてくださると嬉しいです…

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/20 10:33

＞二項分布において試行回数180は中心極限定理を適用できる大きさである。

この意味が分かりますか？　要するに「正規分布」とみなせるということです。

二項定理の性質から
・期待値：E[X] = 180 * (1/6) = 30
・分散　：V[X] = 180 * (1/6) * (5/6) = 25
なので、「１の目が出る回数の確率分布」は、正規分布 N(30, 5^2) に従うということです。

ここまでのことが分かりますか？　分からなければ「二項分布」を復習してください。

「分散」が「25」ということは、「標準偏差」は「５」になります。
（「分散」は「標準偏差の2乗」ということは分かりますね？）

(1) 標準正規分布表で、信頼係数（平均を中心とした確率）が80%, 90%, 95% になる Z値を求めれば、
・信頼区間80% （平均 ± 40％ の範囲内である確率）= 上側確率 10% なので Z≒1.28
・信頼区間90% （平均 ± 45％ の範囲内である確率）= 上側確率 5% なので Z≒1.64
・信頼区間95% （平均 ± 47.5％ の範囲内である確率）= 上側確率 2.5% なので Z≒1.96
↓　標準正規分布表
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

Z≒1.28 に対する範囲は「平均：30、標準偏差：5」を使って
　30 - 5*1.28 ≦ N ≦ 30 + 5*1.28 　→　23.6 ≦ N ≦ 36.4 →　24 ≦ N ≦ 36

Z≒1.64 に対する範囲は
　30 - 5*1.64 ≦ N ≦ 30 + 5*1.64 　→　21.8 ≦ N ≦ 38.2 →　22 ≦ N ≦ 38

Z≒1.96 に対する範囲は
　30 - 5*1.96 ≦ N ≦ 30 + 5*1.96 　→　20.2 ≦ N ≦ 39.8 →　21 ≦ N ≦ 39

(2) 「１の目が39回」出るということは
　Z = (39 - 30)/5 = 1.8
ですから、上にあげた「標準正規分布表」より「１の目が39回以上出る確率」は
　P(Z≧1.8) = 0.03593
つまり「確率分布の中の、上の方の約 3.6%」ということになります。

有意水準20%の場合には「確率分布の中の、下側 10%、上側 10%」の中に入ったら「有意」ということなので、上記の「上側約 3.6%」であれば「有意である」ということになります。
つまり『「1」の目は確率1/6で出てるという仮説』は棄却されることになります。

有意水準10%の場合には「確率分布の中の、下側 5%、上側 5%」の中に入ったら「有意」ということなので、上記の「上側約 3.6%」であれば「有意である」ということになります。
つまり『「1」の目は確率1/6で出てるという仮説』は棄却されることになります。

これに対して、有意水準5%の場合には「確率分布の中の、下側 2.5%、上側 2.5%」の中に入ったら「有意」ということなので、上記の「上側約 3.6%」であれば「有意とはいえない」ということになります。
つまり『「1」の目は確率1/6で出てるという仮説』は棄却できないことになります。

いずれの場合でも「有意である」ということは、つまり「統計的なばらつきでは起こり得ない」ことが起こっているので「統計的なばらつきではない、その値になる何らかの理由・意味がある（＝有意である）」、このサイコロの場合には「1/6 の確率で１の目が出る」という仮定以外の何らかの要因がある（イカサマか？）ということです。
「有意とはいえない」ということは、「統計的な変動の範囲内かなあ？」ということで、「イカサマだ！」とは断定できないということです。（しかし、「イカサマではないことが証明された」ということではないので、その点は要注意）

その意味で、有意水準20%、10％ の場合には、「このサイコロには何か仕掛けがある。イカサマだ！」と主張することもできますが、各々「20%」「10％」の「間違い確率」（冤罪、名誉棄損）の可能性があるということです。「有意水準」とはそういうことです。
「間違い確率」を5%にまで下げると（つまり、より「より確実性を上げて、慎重に判定」するということ。これが「有意水準5%」）、「イカサマとは言えない」という判定になるわけです。

この回答へのお礼

こんなに丁寧で分かりやすくて感動しました…！答えて下さりありがとうございます！(;_;)

お礼日時：2020/01/20 22:29