
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。
そうすればわかるはずです。こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。
極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。
留数とは、特異点のローラン展開におけるマイナス1乗の係数のことです。求めたい留数においてそれが何位の極なのかがわかれば、その計算方法も考えればわかるはずです。
留数がわかれば複素積分に応用できるので、留数は複素関数において重要な考えの一つです。
この回答への補足
回答有難うございます。
言われた通りオイラーの公式から
sinz=(1/2i)*{e^iz-e^(-iz)}=0とおいて変形すると
Z=0つまりz=nπ(nは整数)以外ないということが確認できました。
>極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
>したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。
う~んこの場合だと分母がz*sinzでz=0のときzもsinzも同時に0になるから2位ということを言いたいのでしょうか。
それともローラン展開を実際に書いてマイナス何乗の項まであるか調べようということなんでしょうか。
つまり位数の調べ方が具体的にどうすればいいか考えても分からないのです。このヒントだけでは自分には推測できないのですorz
すいません。
ちなみに問題は別ですが、ある問題集には
(1)z=aがf(z)の第k位の極のときg(z)=(z-a)^k*f(z)はz=aで正則である。
(2)f(z)=g(z)/{(z-a)^k}においてg(z)がz=aで正則で、g(a)≠0ならばz=aはf(z)の第k位の極である
(3)z=aがf(z)の第k位の極のとき
Res[z=a]f(z)={1/(k-1)!}*lim[z→a][{d^(k-1)/dz^(k-1)}*{(z-a)^k}*f(z)]
特にz=aがf(z)の第1位の極のとき
Res[z=a]f(z)=lim[z→a](z-a)f(z)
Resは留数の意味
とあり、まず(1)(2)を用いて位数を求めその後(3)で1位かk位で場合分けされた公式を使ってといています。
例えばf(z)=1/{z(z-1)^3}においてRes[z=0]f(z)を求める問題でしたら
(2)を使うために
f(z)=g(z)/{(z-0)^1},g(z)=1/{(z-1)^3}と変形しz=0は第1位と求まり
(3)の1位の場合の公式を用いて
Res[z=0]f(z)=lim[z→0](z-0)f(z)=lim[z→0]【z*[1/{z*(z-1)^3}]】=lim[z→0][1/{(z-1)^3}]=1/{(0-1)^3}=-1
と解いています。
分かりづらいですが括弧は(){}[]【】の順に内側から外側へと展開していきます。
ついでにお分かりでしょうが
質問文の訂正箇所を書かせてください
>についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
について解説お願いします
>sinz=nπはよく分からない
z=nπの位数がよく分からない
でした。この場を借りて訂正しときます、すいません。
No.3
- 回答日時:
No.1の者です。
位数の求め方がわからないようでしたら、ローラン展開された形を予想して求めればできます。
まず、関数f(z)をz=0でローラン展開して、
f(z) = Σ(k:from -n to ∞)a[k]z^k (nは正整数)
と展開されたとします。ここでa[k]は各z^kの係数で、[k]はaの添字を表します。また、これをn位の極であるとするために、a[-n]≠0とします。
このとき、g(z)= f(z)×(z^m) (mは0以上の整数) を考えます。
m<n のとき、lim(z→0)g(z) = ∞
m=n のとき、lim(z→0)g(z) = a[-n]
n<m のとき、lim(z→0)g(z) = 0
であることが証明できるので、このことがわかれば位数の求め方もわかるはずです。一般の、z→ζ(ζは複素定数)については、w=z-ζと変数を変換すれば同様に証明できます。
ちなみに複素関数でいう「∞」とは、どのような極限の取り方においても、その絶対値が無限大になることです。詳しくはリーマン球面について学んでください。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
頭の悪い人で面白い文章を書く...
-
巡回群と巡回群の直積は巡回群?
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
ゴールドバッハ予想はナンセン...
-
rot rotA=grad divA-∇^2Aの証明...
-
中3数学 2つの続いた整数では、...
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
証明終了の記号。
-
回路理論の相反定理
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
車庫証明について
-
証明の問題がわからないです
-
親の再婚相手との問題です。私...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
正の整数a.b.cが a^2+b^2=c^2を...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
中3数学 2つの続いた整数では、...
-
中古車購入の契約を進めていて...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
不完全微分であることの証明
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
履歴書で証明写真を提出した次...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
証明終了の記号。
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
親の再婚相手との問題です。私...
-
普段 身分証明書って持ち歩いて...
-
車庫証明について
-
47歳、母親の再婚を子供の立場...
-
無理数には、任意の有限個の数...
-
rot rotA=grad divA-∇^2Aの証明...
-
2つの連続した奇数の積に1を...
-
高校数学の証明について質問で...
-
極限に関する証明について
おすすめ情報