1=0.99999....は本当?
1つの実数を一意的に表現できなくていいのかな?
実数が連続であることとなにか関係があると聞いたことがあります。
わかりやすく説明していただけないでしょうか。

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A 回答 (12件中1~10件)

nikorinさんは、大変深くこの問題を考えていらっしゃると思います。

なぜなら

> 任意の2つの実数(の表現)が与えられたときに、それらが同じものか否かをどうやって判断するんだろう?

まさに、これがポイントだと思います。そして答えは、実数の定義そのものにあります。

 実数の定義の仕方には幾つか方法がありますが、歴史的に最初にきちんと実数を定義したデデキントの「切断」というやり方だと以下のようです。

 初めに「桁数が有限の小数」というのは有理数に他ならない。0.123とは 123/1000の略記法と考えても同じ。この事を思い出しておきます。(後で使います。)

[1] まず、有理数(つまり分数で表される数)の集合をQとします。Qの各要素(つまり有理数)同士の間には大小関係が成り立ちますね。この大小関係を使って、有理数を適当に二つの集合SとGに分けます。ただし

(1) S∪G = Q (どの有理数qもSかGのどちらかに分ける。余らせてはいけない。ここに"∪"は集合の和です。)
(2) S∩G = φ (SとGの両方に含まれる要素はない。∩は集合の共通部分、φは空っぽの集合です。)
(3) Sのどの要素sについても「どんなg ∈G を持ってきても、s < g である。」が成り立つ。従って、Gのどの要素gについても「どんなs ∈S を持ってきても、s < g である。」が成り立つ。
 (s ∈Sとは、sがSの要素である、という意味です。)

という風になっていなくてはなりません。(この分け方を「切断」と言います)
 S = Q - G, G = Q - S であることは自明と思います。(このマイナスは集合の引き算です。つまり、"Q-G"とは、「Qの要素のうちGに含まれない要素」を集めた集合という意味ですね。)

*以下で、
  M(q) = 「qを越えるあらゆる有理数の集合」
  m(q) = 「q未満のあらゆる有理数の集合」
  という記号を使うことにします。(M(q), m(q)はqを含みません。)
qが有理数なら、Q = M(q) ∪{q}∪m(q) です。({q}は要素を1個だけ持つ集合で、その要素がqです。)

[2] 切断の分類
 切断、すなわち(1)(2)(3)のルールによる分け方をすると、
(a) Sには最大の要素sがあり、Gには最小の要素gがある。---×
(b) Sには最大の要素はなく、Gには最小の要素gがある。
(c) Sには最大の要素sがあり、Gには最小の要素はない。
(d) Sには最大の要素はなく、Gには最小の要素はない。
の4通りのケースが考えられます。
しかし
・(a)のケース。
 このケースが生じることはありません。もし(a)が成り立つとすると、二つの有理数s<gの間には(s+g)/2という別の有理数があり、これがSにもGにも含まれないことになって、(1)に違反するからです。
・(b)のケース。
 Gの最小の要素をgとするとき S=m(g), G = Q-S = M(g)∪(g}, という事です。
・(c)のケース。
 Sの最大の要素をsとするとき G=M(s), S = Q-G = m(s)∪(s} という事です。
・(d)のケース。
 G=M(#), S=m(#)。この"#"の所に入るのが実は「無理数」です。詳しくは後で説明します。

 さて(c)の場合において、Sの最大の要素sをGに引っ越しさせますと、(b)の状態になります。引っ越ししたsがGの最小の要素になるわけですね。この手直しを行えば、
(b) Sには最大の要素はなく、Gには最小の要素gがある。
(d) Sには最大の要素はなく、Gには最小の要素はない。
のどちらかの場合になるようにできます。(以下、(c)のケースは使いません。)

[3] いよいよ実数の定義です。
●『このように分けたSの事を実数と言います。』
(なんですと? とリアクションしてくださいね。)
Sを決めればG=Q-S(QからSを除いた残り)と決まってしまうので、Sだけ指定すれば十分です。(以下、実数として見たときのSを[S]と書いて、区別しやすくします。)
この[S]の値は、
 どのSの要素sについても、s<[S]であり、しかも、
 どのGの要素gについても、[S]≦g 。
と定義します。
だから
  (b)の場合、実数[S]はGの最小の要素gと同じです。つまり有理数です。
  (d)の場合、実数[S]は、どのSの要素よりも大きく、どのGの要素よりも小さい無理数です。
 すなわち、[S]の値は(b)の場合はSの中に具体的に含まれている有理数ですが、一方(d)の場合には「2つの有理数の集合S,Gで挟まれた値」として表されています。

例を見てみましょう。
(例1)上記の(b)の場合、[S] = 1であるというのは、
S=m(1) , G=M(1)∪{1} ということです。すなわち(有限小数が有理数であることを思い出して)
Sが例えば0, 0.9, 0.99, 0.999,.....を含んでいて、
Gは例えば1, 1.1, 1.01, 1.001, .... を含んでいる、という意味です。

(例2)上記の(d)の場合、[S] = √2であるというのは、
S = m(√2), G=M(√2)ということです。すなわち
Sが例えば1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421 .....を含んでいて、
Gが例えば2, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 1.41422..... を含んでいる、という意味です。

[4]無限小数と1=0.999....
●1.41421356.... という無限小数は
S=m(1)∪m(1.4)∪m(1.41)∪m(1.414)∪m(1.4142)∪.....
という無限個の集合の和を表す、という表現なんです。

●0.999...という無限小数も
S=m(0.9)∪m(0.99)∪m(0.999)∪m(0.9999)∪.....
という無限個の集合の和を表している。
 "0."の後ろに幾つ"9"が並んでいても、その個数が有限であれば全部Sに入ってしまいます。そしてSには最大の要素はない。
 一方G(=QからSを取り除けたもの)の方には1が含まれます。だって、m(0.9),m(0.99),m(0.999),m(0.9999),.....のどれも1を含んでいませんから。またGは1よりも小さい有理数を含んでいないことも明らか。
従って、G=M(1)∪{1}ですね。だからS = Q - G = m(1)です。確かに(b)のケースになっています。
 以上から、
S = m(1)
ですから(例1)によって、
[S] = 1
になります。

[5]まとめ
0.9999...... は無限個の集合の和という表現。1は有理数を使った表現。しかしてその実体は、無限個の有理数の集合Sです。
実体がある。だから、
『表現によらず、同じなのか違うのか、きちんと判断できる。』
これが「実数を定義した」という事、その本質です。

[*]ついでに
「無限大」は数ではないから、わり算しちゃいけません。「無限大」とは「無限大であるという性質」であって、しかも普通の数はこの性質を持ちません。(超限順序数の理論や、超限解析学では、数の概念を拡張した「数’」が出てきて、その中には「無限大であるという性質」を持つ「数’」も現れます。両者の数’の概念は全く別物ですが。)
またゲーデルの不完全性定理は無限について学ぶには最適とは思いません。
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この回答へのお礼

じっくり読ませていただきました。
デデキントの「切断」の概念はちょっと聞きかじったことはあるものの
ちゃんと考えたことはありませんでした。こういうふうに使うんですね。
実数の実体は集合だというのは驚きです。実数は数直線状の「点」というイメージを持っていましたから。
まさに「なんですと?」です。(^^;

なるほど、たしかにSには0.99..は含まれないしGの最小の要素は1ですね。

2つの表現を見ると実数というのは、「点」というより微小な広がりをもった
もの(実体は1つなのに!)のようにも感じますが、(あくまでイメージですが)
これは行き過ぎでしょうか?

実数の定義の仕方には幾つか方法があるとのこと。これについては調べてみたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/01/26 18:24

> 実数というのは、「点」というより微小な広がりをもった もの(実体は1つなのに!)のようにも感じます



 実数についてよく分かってから、という条件付きですけど、超準解析学にチャレンジしてみてはいかがでしょうか。

> 超限解析学では数の概念を拡張した「数’」が出てきて、その中には「無限大であるという性質」を持つ「数’」も現れます。
 なぜこのように数の概念を拡張するかというと「無限小であるという性質」を持つ「数’」(もちろん無限個あります)を導入することによって、「極限」というプロセスなしに微分が定義できるようになるからです。超限解析の「数’」の世界では、「無限大という性質を持つ数’」Lの逆数ε=1/Lが定義され、εは「無限小という性質を持つ数’」です。実数x(これは普通の数)にεを加えたものも「数’」(x + ε)であり、(x + ε)≠ x です。それで、実数xの周りに(x + ε)がまとわりついているようなイメージになります。これをモナドと言う。
 なお超限解析を学ぶには、集合論と一階述語論理の基礎的知識が必要です。
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この回答へのお礼

「超準解析学」ですか。記憶しておきます。
とりあえず実数とはなんぞや?を追求してみたいとおもいます。
いろいろと教えていただき、ありがとうございました。

お礼日時:2001/01/29 10:09

stomachmanです。



回答No.95483の[4]において、
S=m(0.9)∪m(0.99)∪m(0.999)∪.....
の時に、
> またGは1よりも小さい有理数を含んでいないことも明らか。
と書いちゃったのを反省してます。そこで補足。


仮に(1-a )∈G, (aは1>a>0の有理数)だったとしましょう。

このaは有理数ですから、0でない自然数p,qを使って
a = p/q
と書ける筈です。1≦p<qですね。qは自然数ですから、
q < 10^n
となる適当な自然数nを選ぶことができます。そして
p/q = (p×(10^n))/(q×(10^n))≧ (10^n)/(q×(10^n))>1/(10^n)
ですから、
1-a = 1-p/q < 1-1/(10^n)
従って、(1-a )∈Gであるならば
(1-1/(10^n))∈G
です。
 小数で書くと(1-1/(10^n))は0.999......9 (9がn個)ですね。これは
S=m(0.9)∪m(0.99)∪.....
の中のn項目に現れ、従って、
(1-a )∈m(0.999...9) (9がn個)
です。
だから、(1-a )∈Sと(1-a)∈Gが共に成り立つことになります。これは違反です。

 そういうわけで、Gは1未満の有理数は含んでいないんです。
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この回答へのお礼

補足どうもです。
了解です。

お礼日時:2001/01/29 10:18

すみません。

回答じゃありません。
#9の回答の実数の定義がとても懐かしくて、ついしゃしゃり出てきました。
実数ってこう定義されるんだなあってなんとなく感じればいいと思う。

ちなみに大学1年生のころに解析の講義で勉強する内容です。
デデキントの切断、懐かしいなあ。
いいスレだ。
ってサイト違いでスマソ。
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この回答へのお礼

数学科の1年かな?
物理とかだと(先生によるんでしょうけど)あんまり深くつっこまないですよね。

お礼日時:2001/01/29 10:33

詳しい説明は出来ませんが、他の皆さんと切り口の違う考えを紹介しましょう。



デジタルの時計で考えると11時59分59秒か12時00分00秒かどちらがジャスト12時か?どちらも最大0.9999.....秒の誤差があり得ます。

11時59分59秒を過ぎていると言う事は12時までは1秒未満のはずだし、12時00分01秒になるまでは、12時00分00秒だからです。

ですので、時計や重量計などでは1=0.9999.....になります。(ちょっと強引か?)

主旨から外れますが、これがもしお金だったらどうでしょう?
100円はジャスト100であり、決して99.9999.....円ではないと思うのですが(笑)

この回答への補足

確かに時計や重量計の読み取りではそのような捉えかたでもよいか思います。
ですが、ここでは現実の世界とは切り離した、純粋に数学のお話として考えていただきたいと思います。

補足日時:2001/01/26 15:01
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そもそも 0.99999… という書き方自体が「極限」だと思うので、これが厳密に 1 と等しいというのは、極限が厳密に1に収束するということと同じなのではないでしょうか。

「…」というのは「この操作を無限に続ける」というのの省略形なのですから、極限でしか議論できないのではないでしょうか。

この回答への補足

極限に見えちゃうんですよね。
でも、極限が1に近づくことと、値そのものが1であることとは違いますよね。
f(x)=(x^2-4)/(x-2) は x=2 で値を持ちませんが、
lim f(x)=4
x->2
というのと同様に。

ですが、0.99.. と 1 は「極限としてではなく」同じ値らしいのです。

補足日時:2001/01/26 14:47
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「実数」の範囲に「無限」が含まれないとしても、"0.99999....."の小数点以下の桁数として「無限」が入ってきた段階で、「実数」とは別の概念で考えなければならないのではないでしょうか。


「実数の一意的な表現」といっても、"1"も"1/1"も同じ実数ですよね。実数を拡張した複素数の概念でなら"1+i0"を扱える。それと同じで"1-(1/∞)"という数字があり、値としては"1"と同じになるという考えはどうでしょう。

この回答への補足

0.9999..のように9が無限に続いている様子と無限大そのものとは違うと思います。

私の言っている「実数の一意的な表現」はたとえば10進数での表現であって
1=2/2=10/10 とかいうことではありません。

補足日時:2001/01/26 14:36
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この問題は10進数とか8進数というところではなく,「無限」というところに本質があります.


#8進数では 1=0.777777...は本当? という質問になるだけです.
0.9999.....(数学では0.9(この9の上に点をつけて,無限の繰り返しを表します)は 1から(1/無限大)を引いた値 と同じになります.
1/無限大=0ですので 1=0.99999... という説明もあります.
#1/無限大=0が直観的にわからないと言われそうですが・・・・

無限大という概念には直観とは食い違う部分がたくさんあります.
 無限大+無限大=無限大
 無限大×100=無限大
 無限大×無限大=無限大  など.
直観的には「あれ?」と思いますが,ちゃんと証明されています.

実数が連続でない場合,例えば実数を小数点以下5桁までと仮定すると1≠0.99999ですが,実数は「無限」に続く小数ですから(0.5は0.5000...と0が無限に続く小数と見ることができる),その一番下の桁(って,無限に続いているわけですから実際にはないわけですが)が1だけ小さい数が0.999....です.では,その一番下の桁が1という数は1/無限大となります.

結局,1/無限大=0に帰着します.

無限大についてわかりやすく書かれた本に
 講談社 ブルーバックス
 ゲーデル・不完全性定理 吉永良正著
があります.

この回答への補足

「1/無限大=0」というのがどうも引っかかります。
"無限大"という元は実数には含まれていないのでは...?
これは極限操作を使っていませんか?

lim (1/x)=0
x->∞ (無限大)

はわかりますし、

0.9 0.99 0.999 .... という数列が極限値として1に収束する

というのもわかります。

極限として等しいのではなくて厳密に等しくなるのはどうして?というのが
私の質問です。

補足日時:2001/01/25 16:05
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『0.333333333....という数が、実際にあり得るとすれば』


というところに帰結するのではないでしょうか?

現実を数学で全て解決できると思うのは、どういうものかと…?

この回答への補足

0.333...と表現すれば、それはそういう数が実際に「存在する」ということでは
ないのでしょうか?

物理学の話をしているのではないので、「現実を数学ですべて解決できる」
などということはぜんぜん言っていません。

補足日時:2001/01/25 14:15
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一つの実数を二通り(以上)の方法で表現できて何か問題ありますか。

この回答への補足

表現が違う2つの実数は、それぞれ違う実数をさしているものと
直感的に思いません?
任意の2つの実数(の表現)が与えられたときに、それらが同じものか
否かをどうやって判断するんだろう?とか思うわけです。

補足日時:2001/01/25 14:07
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Q1=0.999999・・・ なんでよ??

高校の時、数学で
1=0.999999・・・
ということを習いました。
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もちろん証明の仕方も習いましたが、どうも感情的には納得できない。
ちなみに教師に聞いたところ、
「たぶん君の世界は、無限を否定しているのだろう。無限を否定
していたら、これを理解できないよ」
と言われました。
数学では当たり前のように使うので今まで仕方なく使ってきましたが、頭のいい人、どうか納得出来る方法を教えてください。

Aベストアンサー

#22です。お礼のコメントありがとうございました。

>1=1.000・・・・となり1=0.999・・・とはならないんですよね。

1=0.9999… は納得できなくても、
1=1.0000… は納得できます。そんなことから、1.0000… =1=0.9999… という道筋でしたら、納得の範疇にあります。

0.9999… =1

いつまでも 9 が出てくることが約束されています。続いて出てくる 9 には、私には無視できない思いがします。だから私は本心では納得がいかないのです。でも、

1.0000… =1

どこまで 0 がでても本質的に変化はないし、無視してもいいではありませんか。坂本冬美の歌にもあったように「いつまで待っても来ぬ人と、死んだ人とは同じこと(夜桜お七でしたか…)」と感じます。

「1=0.999999・・・ なんでよ??」の気持ちは同じですが、ここは少し違いましたかね…。

Q円周率(π)って確定値のない「理念」なの?

締め切っていない質問がいくつもあるのに、また質問することをお許しください。
小泉義之さんという大学の哲学の先生が著書「ドゥルーズの哲学」(講談社現代
新書:今春発売)のなかで次のように書いておられます。

「円周率πは、無限級数の極限値として定義される実数であるから、いくら計算しても
 πの値は定まらないし、定めることは不可能である。(中略)
 確かにπは存在するが、イデア的(理念的)に存在する。(中略)
 数直線の表象は現実的なものの想像である。これに対して、微分的なものは理念的で
 ある。微分的なものは、表象不可能で想像不可能である。(中略)
 数直線を想像することは、連続体を思考することではないのである。(中略)
 微分的なもののリアリティを、数直線によって保証しようとする因習は、廃止される
 べきである。」

私は、πの値は「離散的にものを数えるための数字」を使って表現することができない
だけであって、確定値が存在しないとは思えないのですが。

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ちなみに小泉先生は
「0.999・・・=1 こんな等式は絶対に成立しない。9をいくら書いても1には
ならないという直感を手放してはならない。」とも書いておられます。これは
「1=0.99999....は本当? http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339 」を
読む限り、先生の誤解だと思うのですが。

締め切っていない質問がいくつもあるのに、また質問することをお許しください。
小泉義之さんという大学の哲学の先生が著書「ドゥルーズの哲学」(講談社現代
新書:今春発売)のなかで次のように書いておられます。

「円周率πは、無限級数の極限値として定義される実数であるから、いくら計算しても
 πの値は定まらないし、定めることは不可能である。(中略)
 確かにπは存在するが、イデア的(理念的)に存在する。(中略)
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Durandalさんに一票
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たとえば、3.14と書くと円周率の小数点以下第二位までの近似値であり円周率そのものではない。3.141と書いても桁が増えただけでやっぱり円周率じゃない。3.14159265…と書きつづけている場合のみ円周率になる。ただし、書くのをやめた時、円修理との近似値になってしまう。
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本題からそれちゃったみたいだけど、
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0.999…も同様に、書きつづけることをやめた時、1ではなくなってしまう。
無限の労力を惜しまなければ、...続きを読む

Q0.9999....=1の証明(?)について

「No.32339:1 = 0.99999.....?」に寄せられたstomachmanさんのNo.6の回答の中に、「「無限大」は数ではないから、わり算しちゃいけません。…」とありました。この「わり算」というのは他の演算一般も含まれているのでしょうか(決して揚げ足取りで言っているのではありません)。
というのは質問タイトルのよくある証明で
 x = 0.999...と置き、10x - x = 9 から x = 1
を導くものがありますが、無限の性質を持つものにこのような演算が成立するのか、ということが疑問として残っています。

何だか難しく考えすぎなのかもしれませんが、無限小数に対して四則演算を施している上記の証明(計算)は正当なのかということをお尋ねしたく思います。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

 
>「...小数表現の数と実数が一対一対応にしておかないと...」
>とあるのですが、1.0000....という小数表現も0.9999....というそれも、どちらも実数1に対応するのであれば、それは「一対一」にはならないのではないでしょうか。

わたしの表現が下手だったのだと思います。

1.0000……という小数の「模様」と、0.9999……という小数の「模様」が二つあるのです。二種類模様があるので、これに対応する「数」が存在するはずだと考えると、実数論の考えからはおかしいことが起こり、どうしても、0.9999……の模様が、何かの「数」を表現しているのだとすると、それはノン・スタンダードな数学になってしまうのです。

そこで、実数論では、実は、0.9999……に当たる模様は、1という実数に等しいと考えられており(定義されており)、従って、1.00000……という無限に続いている模様と、0.9999……という同じく無限に9が続く模様は、別の模様ではなく、「同じ模様」が違って描かれていると考えるのです。

この「同じ模様」が、1という実数に一対一対応するのです。1.000……0001という、あいだに0が無限に続き、最後に1が来る模様も考えられるのですが、この模様も、1.0000……と同じ模様だとし、1に一対一対応させているのです。

つまり、小数表現で、「模様」が違うと、それぞれ違う「数」に対応すると考えると、スタンダードな数学では、対応している「数」がないのです。そこで、実数論では、先に言ったように、1は色々な模様で表現できるが、「数」としては一つしかなく、多数ある「模様」は、同じ模様を違って見ているのであると考え、定義で、同じ模様だとし、1と、これら模様のあいだの一対一対応が成立しているということです。

繰り返しになりますが、一対一対応にしないと、0.9999……という模様に「対応する数」があることになるのですが、そんな数があると、スタンダードな数学にならないのです。

----------------------------------------------------

>つまり、4/33の小数表現は0.121212...のひと通りですが、2/3の場合は1.50000...と1.49999...のふた通りの表現が可能ということになります。
>それは特に問題にはならないのでしょうか。

この質問は考えていたのですが、よく分からなかったのですが、現在の時点では(色々考えましたので、思い出すことや、納得することなどが増えました)、次のように回答できるのではないかと思います。(ただ、あくまで、こういう風にわたしは考えるということで、教科書や、専門の数学者の書いた本で勉強してください)。

0.12121212……という無限循環小数は、「無限級数」で表現すると、収束して、4/33になるのですが、最後に来るのは1か2かという問題を考えると、1か2かという問題では、答えは「発散」します。つまり、計算してゆけば、順次に1と2が交互に出てきて、どちらで終わるということもないからです。

しかし、変な話に聞こえますが、無限小数ではなく、「模様」として考えると、「実無限」で、この「模様の形は決まっていて」、最後に何が来るかも決まっています。この場合、1か2です。

つまり、1の場合と2の場合があるのです。

先に、1.000……0001も1であると言いましたが、1.000……0002も、同じ1で、1.0000……0003も1です。1に対応する実無限の数配置の模様は「無限」にあるのです。0.99999……と1.0000……だけではないのです。

「実無限」での数の配置の場合は、0.121212……12121も4/33ですし、0.12……1212も4/33ですし、更に、0.1212……123も4/33です。

何故こうなるかというと、加算をしているのではなく、あくまで模様としてみて、0.1212……の最後の部分を見ると(取り出すと)、それは、12で終わっているか、21で終わっており、これに、0.000……0001を加えると(加算ではなく、模様の数を加えるということです)、最後が13とか22になります。しかし、この場合も、4/33です。

無限級数とか極限とかを考える場合は、無限の数列の「最後」は意味がありません。最後があるとすると、「その先」を考えることができるのが、可能無限で、極限の考えです。

しかし、「実無限」で数が並んでいる場合は、この数の列の先頭が何か分かるように、最後の数も何か分かります。

(どうしてそんなことが可能になるのかというと、集合論で、「選択公理」という公理があり、カントールの無限集合論は、この公理を使っているのですが、この公理では、「集合の任意の元を取り出すことができる」となっています。確定した実無限の数の列の場合、その最後の数を取り出して来ることが、この公理で可能になるのです。この公理は問題のある・興味深い公理で、メタ数学の発展と関係しています)。

極限の場合は、「最後の数」はありません。しかし、「模様」として、無限個並んでいる数の列は、最後があるのです。極端に言えば、0.9999……の列の最後の部分が、1,2,3,4,5……と何であっても、みな、1と同じ数になります。

4/33の「無限循環小数」表現では、「限りなく」12……または21……が続いて行きます。「最後」の数字はないのです。他方。0.9999……は、極限の無限小数で出して来た模様ではなく、0.の後に、9が「無限に」並んでいるという模様です。従って、これは、「最後の数字」が「ある」のです。

4/33を無限循環小数表現するということは、極限表示なのに対し、0.9999……は、極限表示ではないのです。だから、4/33に当たる数を、0.9999……同様の、実無限の数の並びだとしてしまうと、最後の数として1でも2でも3でも4でも、何でもよいことになり、しかも、表している実数は、定義上、4/33になるのです。

表示の意味が違っているのです。

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>  もし0が0.0000...と表現されるのならば、
>  二進法における0.0000...は = 0 なのか

0は、一般のN進法で、0.00000……です。
二進法での0.00000……も0です。

>  それとも十進法における 0.9999... と同じで
>  0.0000... = 1 なのか

十進法の0.9999……に対応するのは、二進法では、0.11111……です。これは勘違いです。

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追加で、jmh さんには申し訳ないのですが、0.9999……を無限級数あるいは極限で定義することと、模様としての0.99999……は別のことです。

a=lim(n→∞)[1-10^(-n)]

と定義すると、nが限りなく増大するにつれ、aは、0.9999……という形になります。しかし、これは、模様の0.9999……とは異なっているのです。これは「極限」であって、常に、n(これは自然数です)として、より大きなnが取れるということを意味していて、n=∞にはならないのです。∞とは、「記号」で、「数ではない」のです。

1からnまでの集合を考え、これを{1,2,3,……,n}=Aとすると、模様としての0.9999……は、n=∞の場合でなく、|A|=∞の場合です。|A|は「Aの濃度」を示します。(濃度記号としては、∞は意味があるのですが、∞は数ではないのです)。

上のような、極限で、aを定義した場合、10a-a=9aというような計算が成立するかということですが、成立します。

ただし、10a-a=9というような式は成立しません。
aを上の定義の通りだとすると、lim(n→∞)[10a-a]=9は成立します。

9.9-0.9=9
9.999-0.99=9
9.9999-0.999=9
 …………

こういう式は違っています。

n→∞とは、n=1から始まって、n=100、101……1000、1001……と限りなく∞に近づくという意味です。

lim(n→∞)[10a-a]の式のなかの[10a-a]の部分だけを考えます。無論、その前のlim(n→∞)は省略しているだけで、実際は付いています。そのとき、

n=1の時、a=0.9で、式は: 9-0.9=8.1
n=2の時、a=0.99で、式は: 9.9-0.99=8.91
n=3の時、a=0.999で、式は: 9.99-0.999=8.991
  ………………
n→∞の時、a=0.99999……で、式は、8.9999……991

この値に「収束」して行きます。
この計算の「極限値」は、9になります。正確に書くと、lim(n→∞)[10a-a]→9で、これを、=9と書くのです。


a=lim(n→∞)[1-10^(-n)] は、nが限りなく大きくなると、1へと限りなく近づいて行きます。しかし、決して1にはならないのです。

これは、数直線を、1という数(点)で切断したとき、1いう点が、1より大きい半直線に属するとすると、この半直線には、一番小さい数が存在し、それは1だが、1より小さい半直線には、一番大きい数が存在しないと言ったことと平行しています。

a=lim(n→∞)[1-10^(-n)] は、限りなく1に近づくが、1には決してならないのですが、こういう状態を、「1に収束する」と言い、「極限値は1」であると表現し、極限値の意味で、a=lim(n→∞)[1-10^(-n)]=1 と書くのです。

しかし、これは「極限値が1」になることで、実は定義的にも1ではないのです。
 

 
>「...小数表現の数と実数が一対一対応にしておかないと...」
>とあるのですが、1.0000....という小数表現も0.9999....というそれも、どちらも実数1に対応するのであれば、それは「一対一」にはならないのではないでしょうか。

わたしの表現が下手だったのだと思います。

1.0000……という小数の「模様」と、0.9999……という小数の「模様」が二つあるのです。二種類模様があるので、これに対応する「数」が存在するはずだと考えると、実数論の考えからはおかしいことが起こり、どうしても...続きを読む


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