
(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)
の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?
あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
YYoshikawaさん、こんにちは。
[(1)について]
> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。
数式では次のように証明できます。
まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、
a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]
と比をとってみると、
a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)
ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、
a(n+1)/a(n) < 1
となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。
もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。
従って、
lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。
[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
< (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)
[(2)について]
まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。
これを式で言うには、対数をとるより、
lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
= lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)
と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
(5) = 3
になります。
なお、(6)が明らかと思われない場合は、
1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。
No.2
- 回答日時:
質問内容は「収束するのか発散するのか分かりません。
」でしょう?具体例を計算することで、どちらかわかりましたね。
あとはそれを証明するだけです。
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