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lim[n→∞]n/3^n

の極限値を求めたいのですが、
解きかたを教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

発散の速度がnより3^nのほうが速いので0になる。


ってのはだめか。

二項定理より
3^n = (1 + 2)^n ≧ 1 + 2n + n(n-1)
0< 1/3^n ≦ 1/(1 + 2n + n(n-1))
0< n/3^n ≦ n/(1 + 2n + n(n-1)/2) = 1/{(1/n) + 2 + (n-1)}
nを無限に飛ばせばはさみうちの原理から0に収束しますね。

(1+h)^n≧1 + nh + {n(n-1)/2}h^2からlim[n→∞]n*x^n = 0
を示すような問題があります。

参考URL:http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=564678
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
よくわかりました。
参考にさせていただきます。

お礼日時:2004/02/10 11:34

nって自然数のことですね?数列{n/(3^n)}がn→∞で行き着く先は?という問題。



●n>0のとき、n/(3^n)>0です。つまり、この数列は0より小さくはなれません。
●n>0について、(n+1)/(3^(n+1)) と n/(3^n)の比を計算してみますと
( (n+1)/(3^(n+1)) ) / ( n/(3^n) )
=(n+1)(3^n)/(n(3^(n+1)))
=(n+1)/(3n)
=1/3+1/(3n) ≦2/3
です。
●またn=1のときにはn/(3^n)=1/3≦2/3

ゆえに、
n>0について0<n/(3^n)≦(2/3)^n
そして、
n→∞のとき{(2/3)^n}→0
はワカッテルとしますと、
n→∞のとき{n/(3^n)}→0
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

nって自然数です!定義は大事ですよね。かかなくってすみません。

参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

お礼日時:2004/02/10 11:35

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