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lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)の解き方を教えてください!ちなみにaは定数です。

gooドクター

A 回答 (3件)

微分係数の定義および三角関数の極限を組み合わせて利用する問題ですのであまり難しく考える必要はありません



1=(x-a)/(x-a)ですから
(sinx-sina)/sin(x-a)=1{(sinx-sina)/sin(x-a)}
={(x-a)/(x-a)}{(sinx-sina)/sin(x-a)}
={(sinx-sina)/(x-a)}{(x-a)/sin(x-a)}

ここで微分係数の定義:f'(a)=Lim[x→a]{f(x)-f(a)}/(x-a)
を利用すると
f(x)=sinxとおいて(こうおくとf'(x)=cosx)
lim[x→a](sinx-sina)/(x-a)
=lim[x→a]{f(x)-f(a)}/(x-a)
=f'(a)
=cosa


次に見やすいようにx-a=tとおけば
x→aのとき t→0
そして、公式:Lim[t→0]t/sint=1を用いると
Lim[x→a]{(x-a)/sin(x-a)}
=Lim[t→0]t/sint
=1

あわせて
lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)
=lim[x→a]{(sinx-sina)/(x-a)}{(x-a)/sin(x-a)}
=cosa・1
=cosa
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この回答へのお礼

解説までつけていただきありがとうございますございます!

お礼日時:2021/02/16 12:13

lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)


=lim[x→a](sinx-sina)/(x-a)
これは、f(x)=sinxのx=aでの微分の式になっています。
よって、f'(a)=cos(a)
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます!

お礼日時:2021/02/15 17:22

lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)


=lim[x→a]2cos{(x+a)/2}sin{(x-a)/2}/sin(x-a)
=lim[x→a]2cos{(x+a)/2}sin{(x-a)/2}/2sin{(x-a)/2}cos{(x-a)/2}
=lim[x→a]cos{(x+a)/2}/cos{(x-a)/2}
=cosa/cos0
=cosa
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます!

お礼日時:2021/02/15 14:39

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