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f[(e^x)/(e^x+e^-x)]dxの積分計算を教えていただけますでしょうか。
よろしくお願い致します。

gooドクター

A 回答 (4件)

昔の赤チャートさんでは、e^xで書かれた関数の積分(f(e^x)のタイプ)は e^x= uとおけ。


と書いてあったような。

e^x= uとおくと、e^x・dx= duとなるから
(与式)
= ∫e^x・dx/( e^x+ e^(-x) )
= ∫du/( u+ 1/u )
= ∫u/( 1+u^2 )・du

ここで u= 1/2* (1+ u^2) 'であるから
= 1/2* ∫(1+ u^2) '/(1+ u^2)・du

∫ f '(x)/f(x)・dx= log|f(x)|+ Cの準公式を用いて
= 1/2* log|1+u^2|+ C

1+ u^2= 1+ e^(2x)> 0である。
よって、(与式)= 1/2* log( 1+ e^(2x) )+ C(Cは積分定数)
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#2です。



変数tをxに戻すのを忘れましたので、A#2の最後に以下を追加してください。

>=(1/2)log(e^t+1) +C (Cは積分定数,logは自然対数)
=(1/2)log(1+e^(2x)) +C
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I=∫(e^x)/(e^x+e^(-x))dx



分子・分母にe^xを掛けて
I=∫(e^(2x))/(e^(2x)+1)dx

2x=tとおくと 2dx=dt → dx=(1/2)dt
I=(1/2)∫(e^t)/(e^t+1)dt
=(1/2)∫(e^t)'/(e^t+1)dt
=(1/2)log(e^t+1) +C
(Cは積分定数,logは自然対数)
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こんばんわ。


fというのは、積分記号のことですか?
「せきぶん」と入力して変換すると、「∫」が表示できると思います。

で、いまの問題ですが、e^x= uとでもおいて置換してみてください。
比較的簡単な計算にすることができます。
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