lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)の解き方を教えてください！ちなみにaは定数で

lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)の解き方を教えてください！ちなみにaは定数です。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/02/15 13:49

lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)

=lim[x→a]2cos{(x+a)/2}sin{(x-a)/2}/sin(x-a)
=lim[x→a]2cos{(x+a)/2}sin{(x-a)/2}/2sin{(x-a)/2}cos{(x-a)/2}
=lim[x→a]cos{(x+a)/2}/cos{(x-a)/2}
=cosa/cos0
=cosa

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます！

お礼日時：2021/02/15 14:39

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/02/15 17:09

lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)

=lim[x→a](sinx-sina)/(x-a)
これは、ｆ(x)＝sinxのｘ＝aでの微分の式になっています。
よって、f'(a)=cos(a)

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます！

お礼日時：2021/02/15 17:22

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/16 11:51

微分係数の定義および三角関数の極限を組み合わせて利用する問題ですのであまり難しく考える必要はありません

1=(x-a)/(x-a)ですから
(sinx-sina)/sin(x-a)＝1{(sinx-sina)/sin(x-a)}
={(x-a)/(x-a)}{(sinx-sina)/sin(x-a)}
={(sinx-sina)/(x-a)}{(x-a)/sin(x-a)}

ここで微分係数の定義：f'(a)=Lim[x→a]{f(x)-f(a)}/(x-a)
を利用すると
f(x)=sinxとおいて(こうおくとf'(x)=cosx）
lim[x→a](sinx-sina)/(x-a)
=lim[x→a]{f(x)-f(a)}/(x-a)
=f'(a)
=cosa


次に見やすいようにx-a=tとおけば
x→aのとき　t→０
そして、公式：Lim[t→0]t/sint=1を用いると
Lim[x→a]{(x-a)/sin(x-a)}
=Lim[t→0]t/sint
＝１

あわせて
lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a)
=lim[x→a]{(sinx-sina)/(x-a)}{(x-a)/sin(x-a)}
=cosa・１
＝cosa

この回答へのお礼

解説までつけていただきありがとうございますございます！

お礼日時：2021/02/16 12:13