線上の2点の座標と長径・短径から楕円の中心座標を求める方法

任意の座標P(xp, yp)、座標Q(xq, yq)と、長径（横の長さ）rx、短径（縦の長さ）ryを用意すると、
P、Qを通る楕円は2つに（おそらく）確定できると思います。
それらの楕円の中心座標はどのような式で求められるのでしょうか？

No.2 回答者： ka1234 回答日時： 2007/09/25 22:09

こんにちは。

＞2つに（おそらく）確定できると思います。

長軸と短軸を決めると楕円の形は１つに決定します。
その楕円について、任意の点Pを通す事は出来ますが、
例えば遠く離れた点Qを通す事は出来ないのではないでしょうか。
したがって、P, Q にはある関係が設定される必要があると思います。

＞それらの楕円の中心座標はどのような式で求められるのでしょうか？

上記の仮定の下で、
二次曲線の一般形：ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0・・・[1]　において、
(1)　２点P, Q を通るという条件と
(2)　主軸変換をした時に、(x/(rx/2))^2+(y/(ry/2))^2=1
　　になるようにすると求まります。

※　一般に座標平面上においた楕円は[1]より簡単になりません。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/09/25 19:45

楕円の中心座標を(xo,yo)とすると楕円の式は

(x-xo)^2/(rx/2)^2+(y-yo)^2/(ry/2)^2=1 …(1)
となりますから
この式にP,Qの座標を代入すると
(xp-xo)^2/(rx/2)^2+(yp-yo)^2/(ry/2)^2=1 …(2)
(xq-xo)^2/(rx/2)^2+(yq-yo)^2/(ry/2)^2=1 …(3)
この２つの式を(xo,yo)を未知数とする連立方程式として解くだけです。
条件としてPとQは異なる点でなければいけません。

左辺第二項を消去すればxoだけの方程式が出てきます。
左辺第一項を消去すればyoだけの方程式が出てきます。
いずれも２次方程式になります。
一般には(xo,yo)の２組の解が出てきます(楕円が２通り)。
xp=xq,|yp-yq|=2ry　または　yp=yq,|xp-xq|=2rx
の時が２つの楕円が一致しますので(xo,yo)は一組だけになります。

全て文字定数でやっているから式が複雑で大げさになりますが、
文字定数に具体的な定数を使えばそんなに複雑にはなりません。
計算が複雑でしたら、(xp,yp),(xq,yq),rx,ryに簡単な数値を与えて計算してみてください。文字定数が多いと式が勢い長くなりますので計算間違いが発生し安いですから、数値を与えて計算した場合をやっておいて、
文字定数のまま計算した結果に、後から同じ数値を定数に与えて一致するか、確認すると良いでしょう。

この回答への補足

ありがとうございます。教えていただいた式を利用して、
文字定数のまま連立方程式を解いてみようとしたのですが、膨大な長さになりそうな雰囲気ですね…
数値を代入する方法ではうまくいくことを確認できました。
素人の浅知恵で申し訳ないのですが、行列式でならば文字定数のままでももう少しシンプルな形で表せそうな気がしてきました。
その場合どういった形になるでしょうか？

補足日時：2007/09/25 20:45