0乗が１になる理由

題名の通りなんですが、「何かの0乗は必ず1になる」と教わりました。その理由は、
２`3＝８
２`2＝４
２`1＝２
２`0＝１
上から指数が一つ下がるごとに半分にすればいいから０乗は１、と説明されました。
確かにそうなるんですけど、０回かけるということなのになぜ１になるのか不思議です。これをなにか納得のいく説明の出来る方がいらっしゃいましたら、ご説明お願いします。

No.13 ベストアンサー 回答者： gootaroh 回答日時： 2007/11/02 09:35

>０回かける

こういう文学的な（？）考え方では理解できません。
「0回掛ける」のではなく、「ゼロ乗とは、分母分子が等しい状態」だと考えてください。

「約分」って覚えていますか？小学4年生で習いましたよね。
「10/20」は、「（1*10）/（2*10）」のことで、分母分子に等しく「10」があるので相殺すると、結局「1/2」と同じ、というアレです。

その上で、指数同士の割り算をしてみましょう。まず前提として、

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32

これはいいですよね？

ここで「2^5」/「2^3」を計算してみましょう。

これは、「32/8」と同じですから、答えは「4」です。「4」ということは「2^2」と同じですよね。

冒頭の約分で考えると、「（2*2*2*2*2）/（2*2*2）」ですから、分母の3つの「2」と分子の3つの「2」を相殺すると、残るのは分子の2つの「2」だけですから、答えは「2*2」で「4」です。

いずれにせよ、「2^5」を「2^3」で割るというのは、「2^(5-3)」と同じなわけです。ここまではいいでしょうか？

では、次に「2^5」/「2^5」はどうですか？

具体的な計算以前に、そもそも分母分子が等しいので、答えは当然「1」ですよね。で、先ほどの例でいくと、「2^(5-5)」ですので、「2^0」ということです。

ということで、ゼロ乗とは分母分子が等しい状態、つまり答えは「1」なのです。

注意点としては、「0^0」ですね。これは「0/0」と同じことです。これだけは例外で、答えは「1」に限定できません（「1」ではない、ではなく「限定できない」という表現に注意）。

例えば、「6/3=2」の場合、分母の「3」を右辺に移項すると、「6=2*3」ですよね。つまり、「6にするためには、2に3を掛ければよい」ということです。

同様に、「0/0=A」の場合、分母の「0」を右辺に移項すると、「0=A*0」ですよね。つまり、「0にするためには、Aに0を掛ければよい」ということです。

「0」に何を掛けても答えは必ず「0」になりますので、この場合の「A」は何でもよいことになります。
もちろん「1」でもいいし、「0」でもいいです。「100」でも「マイナス1兆」でも何でもいいのです。
先ほど「1に限定できない」といったのは、こういう意味です。
逆に「1」や「0」に限定すると「間違い」ということです。
答えが一つに定まらないので、こういうことを「不定」といいます。

つまり、ゼロ乗は原則として「1」ですが、0のゼロ乗は0/0ですので、この場合だけ例外で「1」ではなく「不定」となります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/03 15:38

No.17 回答者： taked4700 回答日時： 2007/11/06 22:02

どちらかと言うと理系の説明ではなくて、文系の説明がほしいと言うことですよね。

どんな数を０乗しても１ですから、２でも、９でも、２３８７でも、なんでも対象はいいわけです。

まず、１乗とか２乗とはどういうことか、イメージを作りましょう。
ちょっと説明が飛ぶのですが、乗とは、表のイメージ、または、２次元とか３次元の世界とか言うときのイメージそのものなのです。

次元と言うことで考えてみましょう。
１次元は線の世界です。線の長さが、具体的な数の大きさを示します。線はいくらでも伸ばせますから、どんな大きな数でも表せます。
２次元は面の世界です。正方形をイメージしてください。辺の長さが具体的な数の大きさを意味します。５ｃｍなら、５＊５で２５がその値です。
３次元は立体の世界です。４次元以上はイメージしにくいのですが、表でたとえると、いくらでも次数を大きく出来ます。マスの中にまた別の種類のマスを作っていくと言う作業をすればいいのです。

さて、では０次元はどんなものでしょうか。立体→面→線と来たのですから、０次元は点です。そして、点は、長さがなくてそこに存在する、つまり、あるだけです。これが１の意味です。

ここが重要なのですが、点はあること、つまり、存在していることだけを意味しているのです。線は、具体的な大きさが表現できます。１次元以上は、そう言った具体的な大きさを取り扱うことが出来るのですが、点はそう言った具体的な大きさを表すことが出来ません。
そう言った意味の点を表すのが、１と言う数字なのです。
１と言う数字は、単に、３の三分の一と言う意味ではないのです。「存在する・単にある」と言う意味を持つこともあるのです。
０もそう言った意味で特殊な数で、「ないこと・存在しないこと」を意味します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/10 14:35

No.16 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/03 21:55

０乗が１だと納得できないなら

いくつならいいとおもっているのか
という意味です

この回答への補足

？？？

補足日時：2007/11/10 14:39

No.15 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2007/11/03 02:12

１０^-3＝０.００１　　∴　log０.００１＝－３

１０^-2＝０.０１　　　∴　log０.０１＝－２
１０^-1＝０.１　　　　∴　log０.１＝－１
１０^0＝１　　　　　　∴　log１＝０
１０^1＝１０　　　　　∴　log１０＝１
１０^2＝１００　　　　∴　log１００＝２
１０^3＝１０００　　　∴　log１０００＝３　となる。と教えてもらったら納得したと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/03 15:37

No.14 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/11/02 11:02

昨夜の放送大学「数学再入門」で、その答を見ました。

「０でない数の０乗は１である」これは「約束ごと」です。

一般に（ＡのＭ乗）÷（ＡのＮ乗）＝（Ａの(Ｍ－Ｎ)乗）です。
この公式がＭ＝Ｎのときでも成り立つためには、上記の約束をしておくほうが便利です。
「０でない数の０乗も０である」という約束をしても、数学の体系が作れないわけはないのですが、もしそうすると、上記のような公式が出てくるたびに「ただし、Ｍ＝Ｎでないものとする」という注釈が必要になり、手続き上、たいへんわずらわしいことになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/03 15:37

No.12 回答者： banakona 回答日時： 2007/11/02 09:02

正論は「指数法則」です。

以下は雑談だと思ってください。

「０乗が１」は納得がいかないということですが、では１乗は納得がいきますか？
「納得できる」という人が多いでしょうが、私は腑に落ちません。「２を1回かけあわせると１」ですか？　
「数学として」ではなく「日本語として」変ではありませんか？

私は次のように累乗の定義をしなおして納得していました。
「２のｎ乗とは『１に』２をｎ回かけること」
これならｎ＝１のときも２^1＝１×２＝２ですんなり納得できます。
なにより、
　２`3＝１×２×２×２＝８
　２`2＝１×２×２＝４
　２`1＝１×２
となって、一般的な累乗の定義よりも美しいです。
さて「０乗」ですが、これは上記定義によれば「１に２を０回かけること」になるので、
　２^0＝１
で１になります。
以上、雑談でした。

正論に戻すと、０乗だけではなく１乗も指数法則で導くべきだと私は思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/03 15:38

No.11 回答者： pyon1956 回答日時： 2007/11/02 08:05

累乗を何回かける、というふうに理解してわかりやすいのは2乗以上のしかも整数乗の場合の話です。

むろんそれが基本だったのですが。

でも数学というものは、「概念の拡張」を行います。
たとえば、負の数、と言う概念は昔にはありませんでした。16世紀ぐらいになっても、場合によって方程式を解く場合、負の数の解は無意味として無視したこともあったようです。
同様に、0乗、あるいはひょっとすると1乗というものも、いわばこの「何回か繰り返してかける」ということからの概念の拡張が行われているのです。
ただし、勝手に意味を拡げてはいけないので、今までの計算と矛盾しない、またそう拡張するが合理的である、という方向に拡張されるのが普通です。

この場合、たとえば１秒経つともとの２倍の量になるものがあるとしましょう。
２秒だと２倍の２倍。３秒だと２倍の２倍の２倍。一般にn秒経つと2^n倍になります。では0秒後には元の何倍でしょう？答えは1倍ですね？
こういうのにあてはまるように、0乗は1（倍）と考えたわけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/03 15:39

No.10 回答者： zk43 回答日時： 2007/11/01 23:47

何かの０乗は必ず１になるという言い方は少し変で、数学の記号上の

約束事にすぎません。
aを実数、m,nを自然数とすると、
a^m=a×…×a（aのm個の積）
と定義し、
a^(-n)=(1/a)^n=(1/a)×…×(1/a)（1/aのn個の積）
と定義します。
すると、
(a^n)×(a^(-n))=a×…×a×(1/a)×…(1/a)=1
となりますが、左辺はa^(n-n)と表せるので、そこで、a^0=1
と約束した方が、指数法則が自然に成り立つようになり、計算が
きれいにいくのです。
あるいは、a^0=a^(0+0)=a^0×a^0の両辺をa^0で割って、a^0=1とか。
０回掛けるという感覚は、掛けても影響を及ぼさないものは１なので、
０乗は１という感じでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/03 15:39

No.9 回答者： k_yuu01 回答日時： 2007/11/01 23:37

数学的に説明すると理解しようとする以前に読む気がしませんよね（＾＾；

確認します、「２のｎ乗とは２をｎ回かける」とお考えですね？

２＾３＝２×２×２　　…「２の三乗＝２を３回かける」
２＾２＝２×２　　　　…「２の二乗＝２を２回かける」
２＾１＝２　　　　　　…「２の一乗＝２を１回かける」

最後に注目して下さい。
「２の一乗＝２を１回かける」
２を１回かける……何にかけるの？

ここで発想の飛躍。１に２を１回かけていると解釈すればスッキリしますね。
つまり
新解釈「２のｎ乗＝１に２をｎ回かける」

２＾３＝１×２×２×２　　…「２の三乗＝１に２を３回かける」
２＾２＝１×２×２　　　　…「２の二乗＝１に２を２回かける」
２＾１＝１×２　　　　　　…「２の一乗＝１に２を１回かける」

ということ。

これにしたがって０乗を考えて見ましょう
２＾０＝１に２を０回かける
…そりゃあ１ですよ。

負の指数には通用しない論理ですが、どうでしょ？

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/03 15:40

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/11/01 23:09

0^0 は定義できません＞#7.

「0^0 = 1」と約束すると便利なことは多いけど.

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/03 15:44