三角錐の正方形展開

私の親は、ある塾で算数を教えています。
その塾の立体図形の問題に「三角錐の正方形展開」が出てくるんですが、理由を説明できなくて困っています。
小学生相手に√は使えないですし…。
「三角錐の正方形展開」を、小学生でも分かるように
説明できる方いらっしゃらないでしょうか。
よろしくお願いします。
　

No.3 回答者： rethourgia 回答日時： 2007/11/30 01:30

三角錐の正方形展開とは、立方体の角のように直角が３つ集まった角の周辺について、その角から１：１：２の割合で離れた３点を含む平面で切ってできる三角錐の展開図は、正方形になるっていうことですよね。

これは、逆に説明すると楽です。つまり、正方形の方から考えるのです。
正方形に、一つの頂点と、その頂点を通らない２辺の中点からなる三角形を描き、その三角形の各辺を折って三角錐を作って見せるのです。そうすれば、問題の三角錐が出来上がります。

このとき、描いた三角形が切り取った角の断面と合同で、外側の３つの三角形が角に集まる面と合同だと分かりますよね。　合同がわからなかったら、「全く同じ形で同じ大きさだね」と説明してください。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2007/11/18 13:51

∠Ａ＝90°、ＡＢ＝ＡＣ＝１の直角二等辺三角形ＡＢＣ

を考えて、辺ＢＣを三等分する点をそれぞれＢから近い
方よりＤ，Ｅとします。
すると、例えばＤＥのところに正三角形ＤＥＦをつけて
やれば三角錐の展開図になります。
次に、ＤからＡＢに垂線ＤＧをおろせば、ＤＧの長さは
面積の考えによって1/3になります。
（△ＡＢＣの面積は１×１÷２＝1/2で、△ＡＢＤ，△
　ＡＤＥ，△ＡＥＣは底辺がみな同じでかつ高さもみな
　同じなのでこれらの面積は等しく1/2÷3=1/6。
　そして、△ＡＢＤの底辺をＡＢ＝１とみれば、その高さ
　ＤＧは、１×ＤＧ÷２＝1/6よりＤＧ＝1/3。）
△ＢＤＧは、∠Ｂが45°の直角三角形なのでＢＧも1/3と
なり、さらにＡＧ＝１－1/3＝2/3となります。
一方、ＤＧをＤの方向に延長させてその線上にＤＧ＝ＤＨ
となる点Ｈをとると、△ＡＧＨはＡＧ＝ＧＨの直角二等辺
三角形になり、∠ＡＨＧ＝45°とわかります。ＡＨは二等
辺三角形の頂角を二等分する線なので、ＢＣとは垂直に
交わることなどを使えば△ＤＨＥはＤＨ＝ＨＥの直角二等
辺三角形であることがわかります。そしてＨＥをＥの方向
に延長させてＡＣとの交点をＩとすれば、△ＤＨＥと△ＣＩＥ
は合同になり、∠ＣＩＥ＝90°、辺の長さなどからＡＩ＝2/3
といえます。
これらを総合すれば、四角形ＡＧＨＩは辺の長さはみな2/3で
角の大きさもみな90°なので正方形であり、ＤＧ＝ＤＨ，
ＨＥ＝ＥＩ、ＡＧ＝ＡＩであることから、ＡＤ，ＡＥ，ＤＥ
で折れば三角錐ができあがるといえます。

No.1 回答者： BookerL 回答日時： 2007/11/18 13:21

　「三角錐の正方形展開を説明する」とは、具体的にどういうことでしょうか。

展開すると正方形になる三角錐はどのようなものか
正方形を多端で三角錐を作るにはどうしたらよいか

というようなことを答えればよいのでしょうか。

　それとももっと定量的に、表面積や体積を計算するようなことが含まれるのでしょうか。たとえば「一辺が１０ｃｍの正方形を折りたたんで三角錐を作ったときの体積」みたいなものを求めるのでしょうか。