
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#2さんのいう通りですね。
直観的に理解できましたか?細かくいうと、
●前半
「fがx=0でも定義されていて、x=0でも右連続ならば」、そうなります。
つまり、もしあるa>0があって、f(0)≧f(a)となるとすると、平均値の定理から、0<b<aをみたすあるbに対し、f’(b)={f(a)-f(0)}/a≦0となり矛盾します。
ゆえに、任意のa>0に対し、f(0)<f(a)となります。
平均値の定理を持ち出さなくても、もしあるa>0があってf(0)≧f(a)となるならば、0<b<aなる任意のbに対し、f(0)≧f(a)>f(b)となります。
このようなbを一つとると、f(0)-f(b)=c(>0)として、
任意の0<x<bに対し、f(0)-f(x)>f(0)-f(b)=c
となり、fはx=0で右連続でなくなり矛盾します。
このような理由により、0を入れても単調増加になります。
(直観的には、ほぼ明らかでしょう?違いますか?)
●後半
これは、別に0を入れる必要がなかったか、或いは、fがx=0で定義されていないかのどちらかでしょう。
(1) f がx=0で定義されていないか、或いは定義されていてもx=0で右不連続(で、x→0としたときの f の極限値よりも、f(0)が大きい)ならば、0を含めることは出来ません。
(2) f がx=0で定義されていて、x=0で右連続ならば、0を含めても単調減少となるのは、上と同じです。
しかしこの場合も、勿論0を含めなくても単調減少ですから、「0<x≦πで単調減少」という記述自体は全く正しい訳です。単に議論上、x=0を含める必要がなかっただけでしょう。
(1)(2)のどちらかの理由でしょう。
No.5
- 回答日時:
#4です。
>#1の補足
ああ、そんな具体的な関数なら、微分して、「増減表を書けば」すぐ分かりますよ。
後半は、0<x<πでf’<0であり、0≦x≦πで単調減少ですね。
増減表を書いて下さい。
No.3
- 回答日時:
とりあえず前半のみ。
微分可能関数の場合、x>0でf'(x)>0となるとx=0でf'(x)=0となることはあっても負になることはありません。よって単調増加と言えるのではないでしょうか?
f(x)=x^3の場合も微分すると3x^2となり、x=0だとf'(x)=0ですが、単調増加です。
たぶんそういう意図だと思います。

No.2
- 回答日時:
形式にとらわれすぎです(笑)
単調増加とか単調減少の区間指定にイコールがつくのとつかないのと意味は同じです。ある区間p<x<qの異なる2点x=a,b(a<b)についてf(a)<f(b)というのと、p≦x≦qのときと状況は同じです。ちょっと考えてみれば分かるはずです。
No.1
- 回答日時:
f(x)の式を書いていただけないでしょうか?これだけでは何ともいえない部分があると思います。
この回答への補足
X >0でf '(x)>0のとき
x >=(大なりイコール)0でf (x)は単調増加と問題集の答えではなっているのですが、なぜイコールが入るのかわかりません。↓
このときのf (x)は
f (x)=ex - X -1
exは e のx乗のことです。
でも、0 < x <= πでf '(x)<0のとき
0 < x <= πでf (x)は単調減少となっていて
0 <= x <= πではありません。↓
このときのf (x)は
f (x) =X cosX - sinX
です。
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