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上限、下限の意味がわかりません。

「上限は上に有界な数列の「最大値」の気持ちを表す量である。」
この”気持ち”ってわかりません。
また、
「上に有界な実数列{An}の上限sup An(n∈N)とは次を満たす
実数cのことを言う。
(1)すべてのnに対してAn<=C
(2)b<cならばあるnに対してAn>b」
とのことですが、上記(2)がなぜなのか、よくわかりません。

解析学など全く知らない素人にsup,limsup等についてどなたか
具体例を示してわかりやすく教えてください。

gooドクター

A 回答 (2件)

「上限は上に有界な数列の「最大値」の気持ちを表す量である。


じゃない
とおもうけど
そこが”気持ち”なんでしょうね。
上限は上界の最小値でしょう。
上限は数列の中の数ではないかもしれないので、
数列の中あれば、最大値だけど、なければ
最大値ではないので、
気持ち
なのです。たぶん。

(1)すべてのnに対してAn<=C

Cは上界である。
をいって、
(2)b<cならばあるnに対してAn>b」
(cが上界の最小値であることをいいたいので)
任意のcより小さい実数bに対して、
bより大きいAnが存在して、bは上界ではない。
→cより小さい実数は上界ではない。
ということ
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An=1-1/n  なら  sup{An}=1

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