論理学と数学（とくに高校数学）

論理学に関する質問です。
高校数学では
公理・定義→定理→問題を解く
という構図が考えられると思います。また、最初に選ぶ公理系しだいでいろいろな体系ができるのではと思っています。

A1.
ここで論理学における規則はどこに関わってきますか。

A2.
「A⇒B」という命題はAもBも真ならば、命題も真なはずです。「1=1⇒素数は無限に存在する」という命題は数学的には真なはずですが、まったく証明では使えない。ならば論理学だけでは数学上の証明にとって不十分ではないですか。また不十分ならば数学と論理学はどのようにこの問題を回避しているのですか。

数学（高校数学）を勉強しているのですが、前から数学と論理学は密接に関係があると思ってきました。しかし、高校生で、論理学については学ぶ機会がありません。できれば僕の論理学に対する無知も考慮に入れて上記の2問にお答えいただけると幸いです。

No.3 回答者： at9_am 回答日時： 2007/12/29 00:54

1.

＃１で回答が出ているとおり、
　公理・定義→定理
で用いられています。

2.
> 「A⇒B」という命題はAもBも真ならば、命題も真なはず
間違いです。
A も B も真であるにもかかわらず、命題「A→B」は偽となるものもあります。たとえば
A：1+1=2
B：三角形の内角の和は180度である
命題はA、B共に真です。が、A であるから B が成り立つといえるでしょうか。命題Aと、命題Aの属する公理系を元に、Bが成り立つと証明できなければ（出来るような気がしないでもないが）この関係は成り立ちません。
この例の場合は、新たな公理系（二次元の平面幾何学）を追加しなければなりませんので、命題「A→B」は成り立ちません。

論理学的には厳密にどうかはわかりかねますが、数学に関係した部分から言うとそのようになっています。

No.2 回答者： ANASTASIAK 回答日時： 2007/12/28 10:04

＞「1=1⇒素数は無限に存在する」という命題は数学的には真な

＞はずですが、...

「はず」ではなくて真です。証明は小学生でもわかる簡単な背理
法でできます。
数学と論理学のちがうところは、論理学には詭弁論理学という
ものが存在するのに対して数学は絶対的な真を問うことができる
ということ。これはパスカルが言っていることです。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/28 02:51

>ここで論理学における規則はどこに関わってきますか。

質問の意味がよくわかりません。
公理や定義から定理を「導く」のに論理学の推論規則が使用されています。

>論理学だけでは数学上の証明にとって不十分ではないですか
数学上の証明を記述する「言語」として論理学の推論規則があると考えましょう。
三段論法などが全員のコンセンサスとして存在するということです。

また A も B も真と判っている場合は A ⇒ B という命題を新たに立てる意味は
あまりありませんが、A、B の真偽は不明だが、A ⇒ B が真であると証明される
状況は頻繁に存在します。

後になって A が真であることが証明されれば、B も真と知れるし、
更に別の命題 A' から A が導かれることが判明すると、新たな知識 A' ⇒ B を得るのです。

論理学自体は数学基礎論と呼ばれるような分野で、どのような公理系が妥当だとか
公理系の矛盾の有無など「推論規則それ自体」に対する研究を主としているので
高校生には学習する機会はないと思います。