正四面体の頂点を求める問題

正四面体ＡＢＣＤにおいて
A(1,3,0）
B(3,5,0）
C(3,3,2)
のとき、最後の頂点Dの座標をもとめる問題を教えて下さい。

幾何学的に２つ解がありそうなイメージはあります。

まず、AB間の距離が２√２であることを求めました。
そこでＤの座標を（x,y,z)とし、Dは、A,B,Cからそれぞれ等距離（２√２）
であることから次の連立方程式を立式しました。

(x-1)^2＋(y-3)^2＋z^2=8　　　　　・・・・(1)
(x-3)^2+(y-5)^2+z^2=8　　　　　　・・・・(2)
(x-3)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=8　　　　・・・・(3)

これを以下のとおり計算して、
(1)-(2)より、
ｘ＋ｙ＝６　　・・・(4)
(2)-(3)より、
ｙ－ｚ＝３　　・・・(5)
(1)-(3)より
ｘ＋ｚ＝３　　　・・・(6)

の3本の一次式を得ましたが、(4)＝(5)+(6)となってしまい、
解を特定できなくなってしまいました。

立式の方針に間違いがあるのでしょうか、あるいは、なにか
見落としがあるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： himajin100000 回答日時： 2008/01/05 12:46

(4),(5),(6)より

y = 6 - x
z = 3 - x

(1)に代入して

(x-1)^2 + (3-x)^2 + (3-x)^2 = 8

二次方程式をたすきがけによって解く。

この回答へのお礼

確かに解けました。ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/05 12:58

No.2 回答者： h191224 回答日時： 2008/01/05 12:56

(4)=(5)+(6)は、実は当たり前です。

３元連立方程式の２個ずつを加減して３個の式を導いてしまうと、必ずこのようになります。

消去法の視点からは、２個が導ければ良いわけで、(4)～(6)のうちの任意の２式から、変数３個のうちの２個が消去できてしまいます。

たとえば(4)(5)からなら、
x=6-y
z=y-3
が得られ、これを(1)に代入すれば、yだけの２次方程式になります。
この２次方程式は簡単に因数分解できて、解けてしまいます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/05 12:59