高校の先生に質問です。

赤玉３個、白玉５個が入っている袋がある。この袋から玉を３個同時に取りだし、取り出された赤玉１個について賞金１００円を受け取るゲームがある。このときゲームに参加してもらえる金額の期待値は？
という問題があるとします。（数学Ａの教科書から）
解答
３個同時に取り出す問題であるが、これを続けて順番に３個とっても同じ事である。１個目についてもらえる金額の期待値は
（３／８）×１００
２個目、３個目も同様だから、もらえる金額の期待値は
３×（３／８）×１００＝１１２．５
という解答には数学Aの定期テストで○をくれますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： pontiac_gp 回答日時： 2008/01/19 21:38

調べました。

結論から言うと○です。少なくとも門前払いで×とするべきではありません。
私は高校教師ではないですが、よく見もせずに×と断言する教師は失格です。

下にも書いたように、期待値の加法定理を使います。
加法定理を教えていないから×、とか言う教師はさらに論外です。

E(X) = E(X1+X2+X3) = E(X1) + E(X2) + E(X3)
X: ゲーム全体での獲得金額
X1: 1個目による獲得金額
X2: 2個目による獲得金額
X3: 3個目による獲得金額

問題は E(X1) = E(X2) = E(X3) = 300/8 とする部分の導出だけです。

1個目は確率3/8でいいわけですが、
2個目は1個目の結果に、3個目は1個目2個目の結果に確率が左右されるのでは？
という疑問が生じます。
が、そのような立場で場合わけをして計算しても結局確率は3/8になります。

たとえば2個目を当てる確率は
（1個目が外れる確率）×（3/7）＋（1個目が当たる確率）×（2/7）
= (5/8)×(3/7) + (3/8)×(2/7) = (15+6)/56 = 3/8 となります。
3個目も同様です。

実のところ引いたくじを戻さない試行においてくじを複数回引くとき、
1回目・2回目・・・n回目の当選確率に差はないのです。
ひく順番で確率がかわったらドラフト会議も成立しません。
この原理は計算せずとも自明といっていいと思います。

よってあなたの回答でE(X1)=E(X2)=E(X3)=300/8 としても
×をつけるにはいたらないでしょう。
よって回答全体としても○です。


最後に付け加えますが、この問題で本当に大事なのは結果が○か×かではなく
「あなたが根拠をもってこの解法を選んだかどうか」です。
期待値の加法定理を意識して解いたのならば何も問題ありませんが、
もし「なんとなく3回分足してみよう」と思ってたまたま正解したのならば
テストとしては○に違いないでしょうが、それは実力ではありません。

この回答へのお礼

高校の先生に質問をしたのですが、そうでない方からこのような意見が聞けて嬉しいです。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/21 22:07

No.12 回答者： pontiac_gp 回答日時： 2008/01/21 22:15

No5の者ですが。

まずNo1=No8さんが
＞「よってあなたの回答でE(X1)=E(X2)=E(X3)=300/8 としても×をつけるにはいたらないでしょう。」
＞は明らかに間違いです。

とまで断言していますが、

＞あえて書くなら、
＞E(X1)=30/56*100=3000/56
＞E(X2)=5*15/56*200=3000/56
＞E(X3)=1/56*300=300/56

これを見るにこの方はどうやらこちらが定義した確率変数X1～X3の意味も理解していません。
そうでなければE(X2)に*200, E(E3)に*300 とかそんな式ができるわけがありません。
よって否定にも何もなっていないことをここに断言しておきます。

No9さんは私よりずっと明快に説明されていますが、
＞期待値の合計は、3*100*(3/8)。

答えるのは期待値の合計でなく、合計の期待値です。
両者が同じといえるのは暗黙であっても加法定理を使っているからです。
自明というならともかく、

＞なにも、Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）を持ち出さなくても

とは言えません。


以上

この回答への補足

そうなんです。
結局、加法定理を習っていないのに使っているのでそれでも○になるかどうかを質問したかったのです。特に高校の先生に。

補足日時：2008/01/21 22:34

No.11 回答者： Meowth 回答日時： 2008/01/19 22:54

(訂正）

50で割ってしまって、自分の誤答に引っ張られてしまった。
３×3/8×100=112.5
でOKでした。

No.10 回答者： pontiac_gp 回答日時： 2008/01/19 22:22

回答者どうしで議論を始めても仕方ないので

質問者さんからなにがしかの反応があるまで待ちます。

#1さん=#8さんが私の回答を否定できているとは全く思いません。

No.9 回答者： nettiw 回答日時： 2008/01/19 22:17

　　　（手順１）

　Ａ、Ｂ、Ｃ　３人が１個ずつ取り出して色は見ない。

　　　（手順２）

　誰からでも良いけれど、順に色を見る。
　このとき各々が、
　赤玉を取り出している確率は、(3/8)。
　　　　　　　　　　期待値は、100*(3/8)。

　　　　期待値の合計は、3*100*(3/8)。
-----
という風に書いてれあれば、
なにも、Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）
を持ち出さなくても時間差攻撃で、
○ is given 。
-----
これは、
籤引きの法則（仮称）と同じですね。

この回答へのお礼

とても参考になる解答でした。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/21 22:31

No.8 回答者： edomin2004 回答日時： 2008/01/19 22:06

＃１です。

＃５、＃７さんが書いていらっしゃいますが、
「よってあなたの回答でE(X1)=E(X2)=E(X3)=300/8 としても×をつけるにはいたらないでしょう。」
は明らかに間違いです。＃７さんが書いているように、必然的に答えは同じになりますが、期待値はそれぞれ違った値になります。
あえて書くなら、
E(X1)=30/56*100=3000/56
E(X2)=5*15/56*200=3000/56
E(X3)=1/56*300=300/56
これから、
E(X1)+E(X2)+E(X3)=3000/56+3000/56+300/56=6300/56=112.5
になるのです。回答とは違いますよ。確率を求めるのではなく、期待値を求めて合計しましょう。

なので、「×」

No.7 回答者： mazoo 回答日時： 2008/01/19 22:00

#6ですが、#5さんのおっしゃるとおりです。

私の計算間違いでした。
赤玉４個、白玉５個のときでも、
まじめにP1、P2、P3求めて計算すると、期待値は400/3円になって、あなたの考え方でも同じ答えにたどり着きます。
#5さんの説明が完璧に正しいです。混乱するような回答を書いてしまって申し訳ないです。
たまたまだと書いてしまいましたが、必然でした。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/21 23:17

No.6 回答者： mazoo 回答日時： 2008/01/19 21:48

答えの数値はあっていますが、それはたまたまで、考え方が間違っているので、私は○はつけません。

例えば赤玉４個、白玉５個で同じように考えて見ましょう。
あなたの考え方ですと、
『解答
３個同時に取り出す問題であるが、これを続けて順番に３個とっても同じ事である。１個目についてもらえる金額の期待値は
（４／９）×１００
２個目、３個目も同様だから、もらえる金額の期待値は
３×（４／９）×１００＝１３３.３３、、、』

となりますが、実際は
１個取り出す確率＝P1＝(4C1 * 5C2)/9C3
２個取り出す確率＝P2＝(4C2 * 5C1)/9C3
３個取り出す確率＝P3＝4C3/9C3

期待値＝１００＊P1　＋　２００＊P2　＋　３００＊P3
　　　＝109.52380....
となり、あなたの考え方で出た答えとは一致しません。

今の場合赤玉の数を変えてみましたが、白玉の数を変えたときは、あなたの考え方で出した期待値と、まじめに定義から計算した期待値が等しくなります。ですがこれはたまたまです。

No.4 回答者： Meowth 回答日時： 2008/01/19 21:36

赤球１個　3C1*5C2=30

赤球２個　3C2*5C1=15
赤球５個　3C3=1
取り出し方：８C3 =56
(30×100＋15×200+300）/50=126
これを続けて順番に３個とっても同じ事だが
玉を戻さないので、2回目3回目は（３／８）×１００
にはならない。しいてやれば条件付き確率になる。

この回答へのお礼

くじ引きの順番によって当たる確率が変わらないことを知りましょう。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/21 22:05

No.3 回答者： pontiac_gp 回答日時： 2008/01/19 21:06

まるっきりダメとも思えません。

期待値の加法定理を使って、
E(X) = E(X1+X2+X3) = E(X1) + E(X2) + E(X3)
X: ゲーム全体での獲得金額
X1: 1個目による獲得金額
X2: 2個目による獲得金額
X3: 3個目による獲得金額

と考えることもできるからです。

ただ、
＞２個目、３個目も同様だから

の部分にやや飛躍があるように見えます。
ちょっと細かいところはこれから考えますが、
解答の数値自体はあっているかを補足してもらえますか？
（あってそうですが）

この回答への補足

もちろん回答はあっています。解法としては、回答者様の解法で考えているのですが、期待値の加法定理は数学Aでは学習しないので、このような質問をしました。

補足日時：2008/01/21 22:03