比熱

3次元空間に分布している媒質（理想気体）の1次元方向に一様な運動，あるいはほぼ一様と近似できる運動を考察しています。

単原子分子理想気体では気体定数を R として，c_v=3/2×R（比熱比 γ で言えば γ=5/3）であることは古典的な気体分子運動論から知られている事と思います（観測等でも証されている事と思います）。
しかし，ここで「3/2」が出てくるのは「3次元空間での等方的な運動」の仮定から説明される事と理解しています。

1次元運動の場合，単原子分子理想気体の c_v が大体どういった範囲の値を取ると考えるのが妥当なのか，詳しい方，どうかご教授ください（また，多原子分子であればどうかも教えてくだされば幸いです)。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2008/01/23 00:57

古典統計力学によれば、一般に１自由度・分子１個辺りの運動エネルギーがkT/2である事が知られています(等分配則)。

ここでいう自由度というのは、ミクロにみた時に分子がいくつの方向に運動できるか(並進・回転・振動)というのを表しています。

単原子分子理想気体では、ｘ、ｙ、ｚの３方向に運動できるので、mol辺りの運動エネルギーは3RT/2となります。今はポテンシャルはないと思っているのでこれが内部エネルギーです。内部エネルギーをＴで微分した3R/2が定積比熱c_vとなります。

もしも、ミクロに見た時に、各々の分子がそろばんの珠のようにｘ軸方向にしか動けなくなっているような状況を考えているのであれば(自由度が１つしかないので)話は別ですが、質問・補足を見る限り、ミクロな視点で見れば分子はｙ、ｚ方向にも自由に動けるような状況を考えていますよね。

もちろん、ｘ軸方向に何らかのパラメータが変化しているような状況はもはや「熱平衡状態」ではないので、気体全体を一辺に扱うのは問題があると思いますが、パラメータの変化が無視できるほど十分小さな(しかし分子サイズよりは大きな)立方体を切り出したと考えましょう。この立方体の中が熱平衡状態(的な状態)になっているという事にすれば(そうでないのなら、例えば「温度」が定義できません)、この領域の中では普通の統計力学や熱力学をそのままの形で適用する事ができて、１mol辺りの比熱は3R/2という事になります。

この回答へのお礼

ご回答，どうも有難うございました。

>ミクロな視点で見れば分子はｙ、ｚ方向にも
>自由に動けるような状況を考えていますよね。

なるほど確かにそうでした。私が「1次元的な運動」を考察しているとは言え，分子レベルのミクロな視点では媒質は3次元的な運動をしていると思うのがそもそも自然な事でした。
私が考察しているような問題を定式化する際は（方程式を眺める際は)，あくまでマクロな視点でのみ物理量が x (とt)にのみ依存していると解釈すべきなのですね。

実は，私は媒質として流体（ほぼ熱平衡的な状態が保たれているそれ）を扱っているのですが，当然そこではマクロな気体粒子の運動には着目していない分だけ，より一層ご回答の内容が当てはまるのではと思います！

>もしも、ミクロに見た時に、各々の分子がそろばんの珠のように
>ｘ軸方向にしか動けなくなっているような状況

実は私の疑問の根幹は,「c_v は密度と温度（あるいは他の熱力学的量のうちの二つ）の関数として扱うのが通常だと思っていたが，それが『運動の仕方』によっても変わってしまうのか??」という事でした。
(よほど極端な密度・温度範囲でない限り，c_v を大体定数と思って良い・・・という事以前に。)
上記ご指摘の「そろばん」の様な状況ですと，回転・振動もしない単原子分子の c_v は（それが定数だと思うとしたら）R/2 であると思うのがやはり妥当でしょうか？

重ねての質問で恐縮なのですが，お教えくだされば幸いです。

お礼日時：2008/01/23 02:03

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2008/01/23 19:05

>上記ご指摘の「そろばん」の様な状況ですと，回転・振動もしない単原子分子の c_v は（それが定数だと思うとしたら）R/2 であると思うのがやはり妥当でしょうか？

古典的な理想気体だと思えばそうなります。
しかし、実際に１次元系が作れたとしても、その系を古典論で扱っていいか言われるとちょっと怪しい気が。

この回答へのお礼

よくわかりました。
いろいろとお教え頂き，どうも有難うございました。

お礼日時：2008/01/24 00:12

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2008/01/21 23:23

>3次元空間に分布している媒質（理想気体）の1次元方向に一様な運動，あるいはほぼ一様と近似できる運動を考察しています。

ん～、「風」が吹いているような状況(理想気体がマクロに移動する状況を考えているんですか？
そうだとすれば、「風」が吹いていない時と変わりません。「風」に流されている人から見れば「風」は吹いていないのですから。

この回答へのお礼

ご回答有難うございました。

恐縮ですが，私の質問文の一番大切な所の記述が悪かったと思いますので，以下訂正致します。
『3次元空間に分布している理想気体の，1次元方向のみの運動（他の2次元方向へは一様であるような運動)』
を考察しています。より詳しくは，例えば媒質中の各点(x,y,z)，各時刻 t における密度や速度場などの物理量が，時刻 t 並びに1つの座標成分 x のみに依存する様な状況です。

仰るとおり,「風」に流されている観測者から見れば1次元方向の「風」は感じない事と思います。物理法則（あるいは基礎方程式系）が動いている観測者に対しても不変である事がその根拠であろうかと理解していますが，↑の様な状況（そもそも1次元的な流れ「しか」持たない媒質の観測）でもやはりそれはあてはまると考えてよろしいのでしょうか？

お礼日時：2008/01/22 00:33