No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>何故、aもbも全部マイナスなんでしょうか?
x-a=X、y-b=Yとすると、点P(x1,y1)は 点Q(x1-a、y1-b)に変換され、円:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2も X^2+Y^2=r^2に変換される。
つまり、X^2+Y^2=r^2の点Q(x1-a、y1-b)における接線を求めると良い。
(x1-a)X+(y1-b)Y=r^2となるから、流通座標に戻すと(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2。
No.5
- 回答日時:
ご質問に書かれている手順で、最初の段階ではx軸方向に-a、y軸方向に-b移動するのですから、接点の座標が(x1-a,y1-b)になります。
こちらはたぶん疑問に感じていないと思います。疑問に感じるのは、円の接線の方程式に限らず、例えばy=f(x)をx軸方向に+a、y軸方向に+b移動するとy-b=f(x-a)となるのが変に感じるということなのではないでしょうか。
y=f(x)上のある点をx軸方向に+a、y軸方向に+b移動した点を(p,q)とすると、それを元に戻した点は(p-a,q-b)です(この手順で符号は-となります)。この元に戻した点(p-a,q-b)はy=f(x)を満たしますから、q-b=f(p-a)が成り立ちます。従って、(p,q)はy-b=f(x-a)上にあることになり、y=f(x)上のすべての点を移動させた点の集まりはy-b=f(x-a)となります。
No.4
- 回答日時:
点 (a, b) から (x1, y1) に向かう直線の傾きは (y1-b)/(x1-a) です。
従ってこれと直交する直線の傾きは -(x1-a)/(y1-b) です。
この直線は (x1, y1) を通りますから、
y-y1=-(x1-a)/(y1-b)*(x-x1)
が求める式です。整理すると
(y1-b)*(y-y1)+(x1-a)*(x-x1)=0
です。x1, y1 を右辺に移動させますと
(y1-b)*(y)+(x1-a)*(x)=x1*(x1-a)+y1*(y1-b)
となります。さらに左辺の x が x-a、y が y-b となるように、つまり両辺に -a*(x1-a)-b*(y1-b) を加えて整理すると
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=(x1-a)^2+(y1-b)^2
となります。右辺は=r^2ですので、解となります。
もっと速い解法もあるかも知れませんね。
No.3
- 回答日時:
では、こちらは平行移動を使わず、
x1≠a,y1≠bの時、
円の中心から(x1,y1)に引いた直線の傾き:(y1-b)/(x1-a)
(x1,y1)における接線の傾き:-(x1-a)/(y1-b)
(x1,y1)での接線の方程式:
y-y1=-(x1-a)/(y1-b) *(x-x1)
(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)=0
(x1,y1)が円上の一点であるので
(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2
これを辺辺に足すと
(x1-a)(x1-a+x-x1)+(y1-b)(y1-b+y1-b)=(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2
これはx1=aやy1=bのときも成立するので
円C上の一点(x1,y1)での接線の方程式は
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2
No.1
- 回答日時:
>Cの中心(a,b)が原点(0,0)にくるように平行移動し、
>その円の接線の方程式を求め、
>その接線を、元の位置に平行移動し戻す、という手順だと思うんですが、
この手順でやってみましょう。
1行目で 円はx^2+y^2=r^2
接点は(x1-a,y1-b)
2行目で 接線の方程式は (x1-a)x+(y1-b)y=r^2
3行目で (x1-a)(x-a)+(y1ーb)(y-b)=r^2
となるので合っていそうです。
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