極限

lim(x→∞) (x-sinx)/x という問題なのですが、まずロピタルの定理を用い、lim(x→∞) (1-cosx) となりました。
解答には１と書いてあったのですが、cos∞　がどうなるのかわかりません。どのように扱えば良いのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： waseda2003 回答日時： 2008/02/02 01:33

lim_(x→∞) (x-sin x)’/(x)’= lim_(x→∞) (1-cos x)

が収束しないということは，ロピタルの定理の仮定が
成り立たないということです。その時点で「おかしい」と
気づかなければなりません。

(x-sin x)/x = 1 -(sin x)/x，|sin x|≦1
より，１に収束することは容易に導けると思います。

ロピタルの定理は美しい定理ですが，意外と実用性が
低いということも覚えておくべきでしょう。
大学入試までの問題に限れば，ロピタルの定理を用い
るより簡単に解ける方法が必ずあります。
大学の教養レベルでも，テーラー展開により収束・発散
のオーダーを考える方が現実的です。
（微分するのは同じだと思われるかも知れませんが，
前提条件のチェックにわずらわされることがありません。）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2008/02/06 18:38

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/02 00:35

ロピタルの出番はない。

(x - sin x)/x = 1 - (sin x / x) なので、一瞬で答えを得るだろう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2008/02/06 18:38